Analisis de sensibilidad de la solucion óptima de un modelo a la incertidumbre de los datos

Unidad 2. Tema 2. Analisis  de sensibilidad de la solucion óptima de un modelo a la incertidumbre de los datos, usando el método grafico de programacion lineal (PL).

En este capítulo se presenta el concepto muy importante de análisis de sensibilidad usando el método grafico de programación lineal.  Este método es utilizado por la administración para resolver una serie de preguntas que plantean tratar las variaciones en los datos originales para recalcular el problema para cada posible combinación de datos, precios, costos, etc., que consumiría demasiado tiempo y en la mayoría de los casos sería difícil, debido al gran número de posibles variaciones.  El análisis de sensibilidad es una forma eficiente de tratar modificaciones que después de ser resuelto el modelo, surgen como consecuencia de errores o modificaciones en los datos originales o por información adicional disponible.

Indudablemente,   el análisis de sensibilidad nos permite examinar los efectos de cambios o variaciones en el modelo original como: 1)Cambios en los recursos, (bj ) 2)Cambios en los coeficientes de la función objetivo (Ci), 3) Cambios en los coeficientes tecnológicos, (aij) , 4) Adición de una nueva variable  (Xi) y 5)Adición de una nueva restricción. (aij ) . Esta técnica recibe el nombre alterno de análisis de sensibilidad, análisis de postóptimailidad, análisis de óptimalidad o programación paramétrica. ( Render,    Stair  y  Hanna, 2009, p.269)[pic 1]

Su importancia radica  en la posibilidad de generar nuevas soluciones directamente de la solución original con un número limitado de simples operaciones, sin necesidad de resolver el modelo de nuevo.  (López, 1993, p.107).

Una vez que se resuelve el problema de PL, se intenta determinar un intervalo de cambios en los parámetros  del problema que no afectan la solución óptima o cambian las variables de solución, tarea que se lleva a cabo sin resolver el problema completo. El objetivo será demostrar gráficamente como se puede utilizar el análisis de sensibilidad para hacer que los conceptos de PL se conviertan en entidades más reales y discernibles. Para este capítulo solo estudiaremos los  cambios de los recursos (bj) y de los coeficientes de la función objetivo (Ci).

1. Cambios en los recursos o valores  del lado derecho de cada restricción (bj)

Los recursos del lado derecho de las restricciones a menudo representan recursos disponibles para la empresa. Los recursos pueden ser horas de mano de obra (horas-hombre), tiempo de máquina (horas) y dinero o materiales de producción disponibles. Si se cambia el lado derecho de una restricción,  la región factible cambiará (a menos que la restricción sea redundante) y con frecuencia lo mismo sucederá a la solución óptima. ( Render,    Stair  y  Hanna, 2009, p.275).

A continuación se explicará a través de un ejemplo esta aplicación de análisis de sensibilidad

La empresa JP fabrica dos productos A y B, para ello utiliza en sus procesos productivos dos máquinas (M1 y M2).  El primer producto (A) requiere dos  horas  en  la máquina uno  y una hora en la máquina dos. El segundo producto (B) requiere de una hora en la máquina uno y tres horas en la máquina dos. Los ingresos por cada unidad son 30$ y 20$ respectivamente. Las máquinas uno y dos presentan una disponibilidad diaria de ocho horas (ambas).  Determine:

1. La mezcla de productos A y B para obtener la mayor ganancia diaria.
2. Si se incrementa el número de horas de la máquina 1,  de ocho a nueve horas.  ¿Cuál es la tasa óptima de capacidad de la máquina 1? Interprete sus resultados.
3. ¿Cuál es el rango en que podemos modificar nuestra disponibilidad de capacidad  de la  máquina 1? Interprete sus resultados.
4. Si se incrementa el número de horas de la máquina 2,  de ocho a nueve horas.  ¿Cuál es la tasa óptima de capacidad de la máquina 2? Interprete sus resultados.
5. ¿Cuál es el rango en que podemos modificar nuestra disponibilidad de capacidad  de la  máquina 2? Interprete sus resultados
6. Si se desea aumentar la disponibilidad de las máquinas. ¿Cuál tendría la prioridad?
7.    Si la capacidad de la máquina 1 se aumenta de ocho  horas a dieciséis horas (es decir ocho horas adicionales) . ¿Cuál será el impacto en el ingreso? (nota: Con fines didácticos, ya que en condiciones reales se tendría que revisar las especificaciones de la máquina) 

Formulando el problema.

Paso 1: La tarea se inicia con la elaboración de un cuadro resumen que contenga toda la información necesaria para formular y resolver este problema. Se muestra a continuación,  el cuadro resumen en la  tabla 1.

Paso 2: Definir las variables de decisión

La  definición de las variables de decisión que representan las decisiones reales que se tomarán.

= Cantidad a producir del producto A diariamente.
= Cantidad a producir del producto B diariamente[pic 4][pic 5]

Paso 3: Identificar la función  objetivo y las restricciones que se deben satisfacer. En este punto ya se puede crear la función objetivo  en función de las variables    y  . La función objetivo es la Utilidad Máxima. [pic 6][pic 7]

[pic 8]

El siguiente paso es desarrollar relaciones matemáticas para describir las dos restricciones que forman parte de este  problema. Una relación general  es que la cantidad de recursos utilizados  (horas de máquina 1 y 2) menor o igual (  ) a la cantidad de recursos disponibles.[pic 9]

• En el caso de la restricción de máquina 1 , el tiempo total de horas utilizadas es : 2 horas por producto  A y 1 hora por producto  B

Por lo tanto, la primera restricción puede ser planteada:

Tiempo de máquina 1 utilizado   tiempo de máquina 1 disponible[pic 10]

[pic 11]

• Asimismo,  la segunda restricción de máquina 2 el tiempo utilizado es:  1 hora por producto  A y 3 horas por producto B

Luego, la segunda restricción puede ser planteada:

Tiempo máquina 2 utilizado     tiempo de máquina 2 disponible[pic 12]

[pic 13]

Para obtener soluciones significativas los valores     y     no deben ser negativos. Ahora las restricciones del problema completo pueden ser planteadas matemáticamente como: [pic 14][pic 15]

Restricciones

Sujetas a:

[pic 16]

Paso 4.: Utilizar las variables de decisión para escribir expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.  Para ello, igualamos las desigualdades y se despeja la variable [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

En consecuencia,  se procede a aplicar el método del punto esquina para la solución gráfica de PL.

1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.

Se procede a calcular  las coordenadas de los  puntos por donde pasaran las líneas rectas.

Figura 1. Resultados de las regiones que satisfacen las restricciones  de máquina 1 y 2.

Al interceptar ambas regiones, se obtiene la zona factible.

[pic 26]

Figura 2. Región de solución factibilidad del problema de la Empresa JP.

Para obtener el punto de intersección de las dos rectas  , se obtiene  las ecuaciones de  ambas rectas:[pic 27]

[pic 28]

Por tanto,   .[pic 29]

Sustituyendo  en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, se obtiene:[pic 30]

 .  Entonces, [pic 31][pic 32]

La región sombreada representa el área de soluciones que no exceden ninguna de las dos restricciones, y además se superponen.  Esta región  se conoce con  el término de región o zona  factible. Esta región debe satisfacer todas las condiciones especificadas por las restricciones del problema de la empresa JP.

1. Encontrar los puntos esquina de la región factible

Se sustituyen las coordenadas de los puntos A, B, C y D  de la zona factible, en cada uno de los vértices  del polígono  para calcular el valor de la función objetivo y se ccomprueban sus niveles de utilidad en la función objetivo.

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