Matrices de rotación homogeneas- robotica

[pic 1]

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA LAGUNA

ROBOTICA

N° DE CONTROL:

13131126

MATRICES DE ROTACION

JORGE ALBERTO RODARTE PALAFOX

INTRODUCCION

N

MATRICES DE ROTACION

Las matrices de rotación definen algebraicamente lo que es una rotación en un espacio 3D considerando un ángulo en el que está girando. 

Para describir la orientación de un cuerpo rígido, es conveniente considerar un marco ortonormal sujeto al cuerpo y expresar sus vectores unitarios con respecto al marco de referencia.

[pic 2]

Marco de referencia A[pic 3]

Marco girado B[pic 4]

Entonces, los vectores que indicarían la orientación de un marco B con respecto a un marco de referencia A se expresarían de la manera siguiente:

        [pic 5]

 (1.1)

Componentes de cada vector unitario son los cosenos directores de los ejes del marco B con respecto del marco de referencia A.

Para adoptar una notación compacta se define entonces la matriz de rotación del marco A al marco B como:

=(                                                         [pic 6][pic 7]

 (1.2)

Y combinándolas en una matriz de (3x3):

[pic 8]

(1.3)

ROTACIONES ELEMENTALES

Realizando rotaciones con respecto a cada eje del marco de referencia y estableciendo la siguiente notación.

Notaciónes de los ángulos formados por la rotación.

• Rotación en el eje X ---------- λ
• Rotacion en el eje Y ---------- μ
• Rotacion en el eje Z ---------- ν

Las matrices de rotación para cada eje, tomando en cuenta los cosenos directores quedarían entonces:

• Rotación en el eje X:

[pic 9]

(1.4)

• Rotación en el eje Y:

[pic 10]

(1.5)

• Rotación en el eje Z:

[pic 11]

(1.6)

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Obtener las matrices de rotación para los siguientes casos, además dibujar para cada caso el marco girado y el marco de referencia.

[pic 12]

a) μ=-90

                           Rotacion en el eje Y

b) μ=-180

[pic 13]

c) ν=270

                           Rotación en el eje Z

d) ν=-270

RESOLUCION DEL PROBLEMA

a) Rotacion en [pic 14]

De la ecuación (1.5):

[pic 15]

Resolviendo:

[pic 16]

Los marcos para este caso quedarían de la manera siguiente:

[pic 17]

b) Rotacion en [pic 18]

De la ecuación (1.5):

[pic 19]

Resolviendo:

[pic 20]

Los marcos para este caso quedarían de la manera siguiente:

[pic 21]

c) Rotacion en [pic 22]

De la ecuación (1.6):

[pic 23]

Resolviendo:

[pic 24]

...