Criterio de estabilidad de Nyquist.

Criterio de estabilidad de Nyquist.

Considere el sistema en lazo cerrado de la figura mostrada.

[pic 2]

La ftlc es:        [pic 3]

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jw)H(jw) con el número de ceros y polos de 1+G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano S. Este criterio, obtenido por H. Nyquist, es útil en la ingeniería de control, debido a que permite determinar gráficamente la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado a partir de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto, sin que sea necesario determinar los polos en lazo cerrado.

La ecuación característica de la figura anterior, la podemos escribir como:                 F(s) = 1+G(S)H(S)

Si dibujamos el diagrama de Nyquist para F(S), observamos que la parte del contorno 1+G(S)H(S) de w = - ∞ a w = ∞ es simplemente 1+G(jw)H(jw). Dado que 1+G(jw)H(jw) es la suma de vectores del vector unitario y el vector G(jw)H(jw), 1+G(jw)H(jw) es idéntico al vector dibujado del punto –1+j0 al punto terminal del vector G(jw)H(jw), como se aprecia en la siguiente figura:

[pic 4]

Las siguientes figuras muestran las gráficas de Nyquist tanto de G(s)H(s) como de 1+G(s)H(s), para la ftla: [pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Criterio de Nyquist: En un sistema de control retroalimentado, si la ftla G(S)H(S) tiene k polos en el semiplano derecho del plano S y [pic 8], para que este sistema sea estable, el lugar geométrico de G(jw)H(jw), conforme w varía de - ∞ a +∞, debe de encerrar k veces el punto –1+j0 en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Este criterio se expresa como sigue:

Z = N + P

Donde

Z: número de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano  

     derecho del plano S.

N: número de encierros en el sentido de las

     manecillas del reloj del punto –1+j0.

P: número de polos de G(s)H(s) en el semiplano

     derecho del plano S.

Si P ≠ 0, para un sistema de control estable, debemos tener Z = 0 ó N = -P, lo cual significaría tener P encierros del punto –1+j0 en sentido de las manecillas del reloj.

Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho del plano S, entonces Z = N. Por tanto, para la estabilidad no se debe encerrar el punto –1+j0 mediante el lugar geométrico G(jw)H(jw).

Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, vemos que se pueden presentar tres posibilidades.

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