Derivada Con Calculo Del Punto De Equilibrio

Para el producto de un monopolista la ecuación del precio (p) en función de la demanda de dichos productos (q) es:

p=42-4q

C ̅=2+80/q

Literal a

¿A qué nivel de producción se maximiza la ganancia?

Encontramos la función de Costo Total

C=C ̅q

C=(2+80/q)q

C=2q+80

Encontramos la función de ingreso

I=pq

I=(42-4q)q

I=42q-4q^2

Encontramos la función de Ganancia

G=I-C

G=42q-4q^2-(2q+80)

G=-4q^2+42q-2q-80

G=-4q^2+40q-80

Derivamos la función de Ganancia

G^'=-8q+40

De donde

0=-8q+40

8q=40

q=40/8

q=5 unidades

Prueba de la segunda derivada

G^''=-8

Entonces la ganancia es máxima

Literal b

¿A qué nivel de producción y cuál es la ganancia?

p_((q=5))=42-4q

p=42-4(5)

p=$22

Literal c

A ese nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal

Determinamos la función de ingreso marginal

IM=I^'

I^'=42-8q

De donde

〖I^'〗_((q=5) )=42-8(5)=2

Determinamos la función de costo marginal

CM=C

C^'=2

De donde

〖C^'〗_((q=5) )=2

Literal d

Determinar y analizar los niveles de producción y precios de equilibrio

Determinamos el punto de Equilibrio

G=0

-4q^2+40q-80=0

Dividimos para -4

q^2-10q+20=0

q=(-b±√(b^2-4ac))/2a

q=(10±√(〖(-10)〗^2-4(1)(20)))/(2(1))

q=(10±2√5)/2

De donde las unidades de equilibrio son

q=7.2361 q=2.7639

De donde los precios de equilibrio son:

p_((q=7.2361) )=42-4(7.2361)=$13.0556

p_((q=2.7639))=42-4(2.7639)=$30.944

De donde los puntos de Equilibrio son:

PE(7.2361;13.0556) PE(2.7639;30.944)

...