Equilibrio
jbravo19 de Septiembre de 2014
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IV. EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS
Seguiremos estudiando solamente los sistemas de fuerzas en el plano. De antemano podemos decir que un sistema de fuerzas está en equilibrio si su resultante es nula, es decir, que los efectos externos que sufre un cuerpo son los mismos si está sujeto a ese sistema o no está sujeto a nin-guna fuerza. Las ecuaciones analíticas que deberá cumplir ese sistema son
y
Manifestaciones del equilibrio de un cuerpo
Antes de pretender investigar si un sistema de fuerzas satisface las ecuaciones de equilibrio, es necesario observar las condiciones mecánicas del cuerpo para saber si, efectivamente, se encuentra en estado de equilibrio.
Cuando estudiamos la primera ley de Newton vimos que tanto un cuerpo en reposo como uno que se mueva en línea recta con velocidad constante están en equilibrio. Pero además de estas dos, hay otras dos condiciones que muestran que el cuerpo está en equilibrio: la rotación uniforme de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa, y la rotación uniforme de un cuerpo alrededor de un eje que contie-ne su centro de masa, el cual se mueve en línea recta con velocidad cons-
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tante. Estas dos últimas manifestaciones quedarán demostradas una vez que estudiemos la Cinética de los cuerpos rígidos.
Es decir, las manifestaciones del equilibrio de un cuerpo son cuatro:
1. El reposo. Por ejemplo, los pupitres del aula, el edificio de la Fa-cultad, el ángel de la independencia. (1)
2. El movimiento rectilíneo uniforme. Un ejemplo sería un carro del metro que se moviera en un tramo recto de vía con una velocidad constan-te de 80 km/h.
3. La rotación uniforme de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pa-se por su centro de masa. Por ejemplo, el impulsor de una bomba de agua que gira a 600 rpm, o una polea de una máquina que gire con una veloci-dad angular constante.
4. La rotación uniforme de un cuerpo alrededor de un eje que conten-ga su centro de masa, el cual se mueva en línea recta con velocidad constante. Pongamos por ejemplo la rueda de un automóvil, que se mueva con rapidez constante en una carretera recta.
Si un cuerpo no se encuentra en alguna de estas cuatro condiciones, no puede estar en equilibrio.
Problemas isostáticos y problemas hiperestáticos
Dijimos arriba que un sistema de fuerzas en equilibrio debe satisfacer las siguientes tres ecuaciones: y . Pero será imposible resolver un problema de Estática en el que aparezcan cua-tro incógnitas.
Se llaman problemas isostáticos aquéllos cuyo número de incógnitas es igual o inferior al número de ecuaciones de equilibrio disponibles. Son hiperestáticos los que tienen un número de incógnitas mayor que el de ecuaciones de equilibrio disponibles. La Estática sólo se ocupa de proble-mas isostáticos.
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Apoyos usuales
Aunque las formas como se pueden conectar los cuerpos entre sí son innumerables, existen ciertos tipos de apoyos o conexiones entre un cuer-po y su entorne que resultan de especial interés para nuestro curso. Los agruparemos según el número de incógnitas que presentan.
Apoyos que esconden una sola incógnita
Apoyo libre o simple, superficie lisa
Collarín en varilla lisa. Perno en ranura lisa
Apoyos que esconden dos incógnitas
Apoyo fijo, articulación, superficie rugosa.
A
RA
RC
C
lisa
N
D
RD
RE
E
C
RCx
RCy
N
Fr
rugosa
RBy
RBx
B
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La dirección de las reacciones en estos apoyos es desconocida. En vez de trabajar con la magnitud y la dirección como incógnitas, se suele recurrir a la descomposición de las fuerzas desconocidas en sus compo-nentes cartesianas, lo cual facilita generalmente el planteamiento de los problemas.
La reacción de las superficies rugosas se descompone casi siempre en una componente perpendicular (o normal) a la superficie y en otra tangen-cial o fuerza de fricción. De ahí la letras con que se designa la magnitud de esas componentes en el diagrama. Las superficies lisas son incapaces de ejercer esta fuerza de fricción.
Apoyos que esconden tres incógnitas
Empotramiento y corte de un cuerpo
Diagramas de cuerpo libre
El instrumento más importante con el que debemos contar para la resolución de problemas tanto de Estática como de Cinética (es decir, de aquéllos en los que intervienen fuerzas), es el diagrama de cuerpo libre. Su grande importancia radica en que las leyes de Newton, puesto que se refieren a fuerzas externas, se cumplen en cuerpos o en sistemas de cuer-pos separados de los que actúan sobre ellos: si no se conocen con claridad los límites del cuerpo en estudio, es imposible determinar las fuerzas externas que puedan alterar su estado.
El diagrama de cuerpo libre es un dibujo de un cuerpo aislado y de las fuerzas externas que actúan sobre él.
Conviene recordar que las fuerzas externas son aquellas que otros cuerpos ejercen sobre el cuerpo en estudio.
RHx
RHy
MH
H
RHy
RHx
MI
MI
RHy
RHx
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Aunque conforme vayamos resolviendo problemas de equilibrio ire-mos adquiriendo práctica en la elaboración de los diagramas de cuerpo li-bre, daremos a continuación algunos ejemplos.
Ejemplo. El cuerpo A de la figura se encuentra sobre una superficie rugosa, mientras que B se halla en una lisa. La cuerda que los une pasa por una polea. Suponga que tanto la cuerda como la polea son ideales; es decir, que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, y que la polea, además de tener masa depreciable, puede girar sin fricción alre-dedor del perno. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de A, B y la polea.
rugosa
80 #
40 #
A
B
30°
lisa
A
0.8 m
0.4 m
0.4 m
G
B
Ejemplo. La barra de la figura pesa 350 kg y su centro de gravedad es el punto G. Está articulada en el extremo A y libremente apoyada en B. Dibuje su diagrama de cuerpo libre.
80
T
Cuerpo A
N
Cuerpo B
40
T
N1
60°
Polea
ROx
T
30°
ROy
T
0.8
0.4
0.4
RB
RAx
RAy
350
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Equilibrio de los sistemas de fuerzas colineales
Para determinar completamente la resultante de un sistema de fuerzas colineales basta emplear la ecuación R = F. Si el sistema de fuerzas está en equilibrio, entonces la ecuación que debe cumplirse es F = 0.
Puesto que se dispone de una sola ecuación de equilibrio, en un problema isostático sólo podrá aparecer una incógnita, tal como se aprecia en los siguientes ejemplos.
1.2 m/s
Ejemplo. Una grúa levanta a un trabajador de la compañía de luz, metido dentro de una canastilla, con una velo-cidad constante de 1.2 m/s. Si se sabe que el trabajador pesa 72 kg y que la tensión de la cuerda es de 254 kg, ¿cuál es el peso propio de la canastilla?
Ejemplo. El camión de la figura pesa 20 ton y la caja que transporta, 15. El camión asciende por una pendiente del 3 %. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la caja y otro del camión.
15 ton
100
3
20 ton
15
Fr
N
ϴ
Caja
Camión
ϴ
N
20
Fr
2NT
2ND
Fr1
3
100
100
ϴ
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A
B
C
60#
80#
120#
Ejemplo. Tres cajas, A, B y C, de 120, 90 y 60 lb de peso cada una, respectivamente, están apiladas, cuando un muchacho trata de levantar la caja C jalándola hacia arriba con una fuerza de 20 lb. Para esta condición, calcule todas las fuerzas externas que actúan sobre cada uno de los tres cuerpos.
N
72
y
Cuerpo C
20
60
N1
y
ΣFy = 0
N1 + 20 – 60 = 0
N1 = 40 lb
Cuerpo B
40
y
90
N2
ΣFy = 0
N2 – 90 – 30 = 0
N2 = 130 lb
Cuerpo A
y
130
120
N3
ΣFy = 0
N3 – 130 – 120 = 0
N3 = 250 lb
Canastilla
P
y
254
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Teorema del cuerpo sujeto a dos fuerzas
Pensemos en un cuerpo sujeto a dos fuerzas de la misma magnitud, pero de direcciones arbitrarias, como se muestra en la figura. Es evidente que el sistema de fuerzas no está en equilibrio, puesto que colocada una a continuación de la otra, se requiere de una fuerza más que vaya del origen de la primera a la punta de la segunda. Partiendo de este hecho, puede concluirse el siguiente teorema:
Si un cuerpo en equilibrio está sujeto solamente a dos fuerzas, tales fuerzas son de la misma magnitud, colineales y de sentido contrario.
Este teorema se aplica en muchísimos casos, pero son de especial in-terés los de las cuerdas y los de barras de peso despreciable que están arti-culadas sus dos extremos.
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