Estadigrafos

CAPÍTULO 5

ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN, DISPERSIÓN, COMPARACIÓN Y FORMA

1. INTRODUCCIÓN

Las distribuciones de frecuencias o probabilidades, se pueden resumir mediante estadígrafos de posición, dispersión, comparación y forma.

Un esquema de los principales estadígrafos que resumen las distribuciones de frecuencias se muestra en la figura 5.1.1.

Figura 5.1.1. Estadígrafos de posición, dispersión, comparación y forma

Fuente: Elaboración propia

A continuación se describirán y desarrollarán las formas de cálculo para cada estadígrafo.

2. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN

2.1. Introducción

La información que contiene cualquiera de las distintas formas de distribución de frecuencias o probabilidades sobre los valores de una variable, es posible reducirla o condensarla utilizando estadígrafos o indicadores de posición central.

Ejemplo 1: Para describir la edad indicadora, en forma resumida, de los alumnos que hacen el pre-universitario, se dice que tienen en promedio 18 años.

Ejemplo 2: Para describir la temperatura en Cochabamba se dice que el promedio es de 24oC, es decir un clima templado.

Los principales indicadores de tendencia central son:

Media aritmética

Moda

Mediana

Media armónica

Media geométrica

Las distribuciones de frecuencia de atributos, si son de atributo nominal, pueden expresarse en forma resumida usando la frecuencia o la moda, en cambio si son de tipo ordinal, la información queda resumida mediante la moda o mediana. Las distribuciones de frecuencia de variable, cualquiera fuese el tipo (I, II o III), pueden resumir la información usando cualquiera de los 5 indicadores antes mencionados.

2.2. Media aritmética

2.2.1. Definición

Es un valor determinado en algún punto del recorrido de la variable. Este punto resulta ser el centro de gravedad de la distribución. En general se define como el valor que resulta de dividir los valores registrados de la variable entre el número de ellos. Este valor llamado media aritmética se simboliza por:

2.2.2. Determinación de la media aritmética en distribuciones de frecuencia

a) Tipo I: La media en distribuciones tipo I se determina aplicando la definición general. Es llamada también: media aritmética de distribución no ordenada o no ponderada.

b) Tipo II: En el cálculo de la media aritmética en distribuciones tipo II, se aplica la expresión anterior añadiendo pesos o ponderaciones:

donde ni son las ponderaciones (ni = frecuencia absoluta).

Una manera fácil de determinarla es efectuando operaciones en la tabla de distribución de frecuencias de la siguiente manera:

Se multiplica la primera columna (xi) por la segunda columna (ni). Este producto se anota en la tercera columna. La suma de dicho producto se divide entre el tamaño de población o universo (ver tabla 5.1.1).

Tabla 5.1.1

Cálculo de la media aritmética en distribuciones tipo II

xi ni xi * ni

x1 n1 x1 * n1

x2 n2 x2 * n2

: : :

xn nn xn * nn

n  xi * ni

Fuente: Elaboración propia

tal que:

c) Tipo III: La expresión de cálculo de la media aritmética en una distribución de frecuencias tipo II se aplica también al caso de hallar dicho estadígrafo en una distribución tipo III, si acaso esta distribución se la convierte a tipo II.

La transformación mencionada se efectúa de la forma en la que se observa en la tabla 5.1.2.

Tabla 5.1.2

Transformación de la tabla Tipo III a tipo II

tipo III transformada a tipo II

Li-1 - Li ni

Lo - L1 n1

L1 - L2 n2

: :

Ln-1 - Ln nn

 ni = n

xi = (Li + Li-1)/2 ni

x1 n1

x2 n2

: :

xn nn

 ni = n

Fuente: Elaboración propia

Dicha transformación se produce reemplazando los intervalos de clase por sus valores medios o marcas de clase (semisuma de los límites de cada intervalo).

2.2.3 Esperanza matemática

Indica el valor promedio que se desea obtener en una distribución de probabilidades.

a) Función de cuantía: Si la distribución probabilística es una función de cuantía, la esperanza matemática se obtiene mediante la siguiente expresión:

b) Función de densidad: Si la expresión matemática es de función de densidad, la esperanza matemática se obtiene de la siguiente manera:

2.3. Moda

2.3.1. Definición

La moda es el valor de la variable que responde a la frecuencia más alta. Se dice también que es el valor de la variable más frecuente. Este estadígrafo de tendencia central se usa para resumir la información en el caso de distribuciones de atributo nominal, ordinal y en el caso de las variables discretas o continuas.

2.3.2. Determinación de la moda en distribuciones de frecuencia

a) Tipo I: En las distribuciones tipo I, no existe posibilidad de hallar la moda, por que dicha distribución se dice que es de tipo unitaria.

b) Tipo II: En las distribuciones tipo II, la moda se determina aplicando la definición.

c) Tipo III: La moda en distribuciones tipo III se halla de dos maneras:

Se transforma la distribución tipo III en tipo II, cambiando la columna de intervalos con una de marcas de clase y se aplica la definición de la moda.

Se aplica una fórmula empírica (Mo):

Si la distribución tipo III es de intervalo no constante:

donde: ai = Amplitud del intervalo de clase modal.

Li-1 = Frontera inferior de la clase modal.

El índice "i" corresponde al orden de la frecuencia más alta y Li-1 - Li al intervalo modal.

Si la distribución tipo III es de intervalo constante, la moda se determina aplicando la siguiente fórmula empírica:

2.3.3. Moda esperada

La moda en una distribución de probabilidad, corresponde a aplicar las condiciones de un máximo.

a) Función de cuantía: Si f(x) es una distribución de cuantía, la moda se determina aplicando la definición.

b) Función de densidad: Si f(x) es una distribución de densidad, se puede determinar la moda mediante tres procedimientos:

1) Aplicando el método para hallar un máximo absoluto en un intervalo. Consiste de los siguientes pasos:

a) Halle las coordenadas de x de todos los puntos críticos de primer orden de la función en el intervalo (Un punto crítico es aquel que se obtiene igualando a cero o a no existe la primera derivada de una función:

b) Calcule f(x) en estos valores críticos y en los puntos extremos x = a y x = b.

c) Seleccione el valor mayor de f(x) obtenido en el paso 2. Este es el máximo absoluto, que puede ser confirmado mediante el criterio de la segunda derivada: .

2) Aplicando la fórmula empírica para intervalos constates o no constantes.

3) Transformando la distribución tipo III en una tipo II mediante las marcas de clase y aplicando la definición de la moda.

Nota: En una distribución de frecuencias o probabilidades, cuando existen dos o más valores que corresponden a la frecuencia más alta, se dice que la distribución es bimodal o multimodal. El valor de una distribución de frecuencias que corresponde a la frecuencia más baja, se denomina antimoda.

2.4. Mediana

2.4.1. Definición

Es un valor de la variable que permite distribuir en dos partes igualmente proporcionales a la distribución de frecuencias. De otra manera se dice que la mediana es un valor que supera a no más de 50% de los valores observados. La mediana es un estadígrafo de ubicación y permite determinar si un valor cualquiera de la variable forma parte del primer o del segundo grupo.

2.4.2. Cálculo de la mediana en distribuciones de frecuencia

El procedimiento para su cálculo es diferente según el tipo de distribución para el que se desea hallar.

a) Tipo I: Se distinguen 2 casos:

1) Si el número de términos de la distribución es impar

Se ordenan los datos de la distribución en forma ascendente o descendente.

El valor de la mediana corresponde al término central, es decir:

2) Si el número de términos de la distribución es par

Se ordenan los datos de la distribución en forma ascendente o descendente.

El valor de la mediana es el promedio de los valores centrales previamente ordenados, es decir:

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