Examen de Control Avanzado - Universidad Nacional de Trujillo

Control Avanzado - Examen Unidad I

Ruiz Rodríguez José Luis        1043600118

Pregunta 1. 

Se tiene un sistema bola y varilla que se muestra en la figura 1. Consiste en una varilla rígida que está libre para rotar en el plano del papel alrededor de un pivote central, con una bola sólida que rueda por una ranura en la parte de arriba de la varilla. El problema de control consiste en situar la bola en el punto deseado de la varilla utilizando como entrada de control un par aplicado a la varilla en el pivote, la salida es la posición en la varilla de la esfera, respecto a un punto de referencia que se encuentra a un extremo 𝒚(𝒕). 

[pic 1]

Masa de la esfera=m=0.2kg. 

𝒈 = 𝟗. 𝟖𝟏𝒎/𝒔 𝟐 

Obtenga las ecuaciones que describen la dinámica del sistema, considere un punto de operación cuando , [pic 2]

Determinar:

Realizamos el diagrama de cuerpo libre

[pic 3]

[pic 4]

: Fuerza de fricción, es insignificante[pic 5]

[pic 6]

A continuación, linealizamos la Ec. 1 en el punto de operación [pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

a) Representación en variables de estado del sistema.

Usando Ec. 2 se tiene que:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

b) La representación en función de transferencia para [pic 14]

Aplicamos transformada de Laplace a la Ec. 2

[pic 15]

[pic 16]

c) Determinar la controlabilidad del sistema.

El sistema es controlable y se obtiene lo siguiente:

[pic 17] [pic 18]

d) Determinar la observabilidad del sistema.

El sistema es observable y se obtiene lo siguiente:

[pic 19] [pic 20]

e) Si el sistema es controlable, por el método de asignación de polos, determinar la matriz de ganancia de realimentación de estado, considerar:

𝑀𝑝(%) ≤ 15% (Sobre elongación máxima)

𝑡𝑠 ≤ 1.5 𝑠 (Criterio de 2% de error)

Con  y  se obtiene lo siguiente[pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24] [pic 25] [pic 26]

f) Simular en Simulink el sistema con la matriz de ganancia de realimentación de estados.

 [pic 27]

[pic 28]

g) Obtener la ganancia óptima a partir del método de Regulador óptimo Cuadrático.

Se obtiene lo siguiente

[pic 29] [pic 30]

h) Simular en Simulink el sistema de control óptimo.

[pic 31] [pic 32]

i) Obtener la matriz de observador de estado completo (Considera los polos 6 veces alejados)

Se obtiene lo siguiente:

[pic 33]

[pic 34]

j) Simular el sistema de control con observador de estado.

[pic 35]

[pic 36]

k) Obtener las matrices de estado discretas del sistema, considerar periodo de muestreo T=0.02 segundos.

[pic 37] [pic 38]

l) Obtener la matriz de ganancia de realimentación de estado discreto.

Se obtiene lo siguiente

[pic 39] [pic 40]

m) Diseñar un sistema de control óptimo en espacio de estados discretos. 

Se obtiene lo siguiente

[pic 41] [pic 42] [pic 43]

n) Simulado en simulink el sistema de control en espacio de estados discretos. 

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