Grafos Eulerianos

Grafos Eureliano

Un ciclo euleriano o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas de un grafo tan solo una única vez, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez". Se debe tener en cuenta que no importa la repetición de vértices mientras no se repitan aristas.

En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar dichos caminos fue discutido por primera vez por Leonhard Euler, en el famoso problema de los puentes de Königsberg.

En relación con los ciclos eulerianos Carl Hierholzer publicó la primera caracterización completa de los grafos eulerianos en 1873, probando matemáticamente que de hecho los grafos eulerianos son exactamente aquellos grafos que están conectados con todos y donde cada uno de los vértices tienen grado par.

Ciclos eulerianos

Dibujar un sobre abierto, como el de la imagen, sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por el mismo sitio, es posible. En cambio, dibujar el sobre cerrado (prescindiendo del punto 5 y sus líneas adyacentes) es imposible.

En la imagen, es un ciclo euleriano, luego es un grafo euleriano.

Un grafo es una representación, un modelo, compuesto por un número determinado de vértices (nodos) y un número de arcos (aristas) que los relacionan, cada arista o arco tiene la capacidad de relacionar dos nodos. La palabra ciclo se emplea en teoría de grafos para indicar uncamino cerrado en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo, como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.

Si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.

Otros ejemplos serian

Existe un criterio preciso para saber cuándo un grafo admite un circuito euleriano.

Este criterio lo proporciona el siguiente teorema.

Teorema. Sea G un grafo. G contiene un circuito euleriano sí y sólo sí:

• G es conexo.

• Cada vértice de G es de grado par.

¿Cómo

...