ISOMORFISMO

Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados y es una función biyectiva tal que:

Para todo se tiene que si y sólo si .

Si existe un isomorfismo entre y , entonces y se llaman isomorfos y la biyección se conoce como isomorfismo entre y . Además, y se llaman similares entre sí.2 4

Si se dice que el isomorfismo es un automorfismo. Se puede demostrar que dado un conjunto bien ordenado el único automorfismo posible es la función identidad.3

Los isomorfismos en conjuntos linealmente ordenados cumplen la reflexividad, la simetría y la transitividad, esto es:3

Sean , y conjuntos linealmente ordenados, luego:

es isomorfo a .

⦁ Si es isomorfo a , entonces es isomorfo a .

⦁ Si es isomorfo a y a su vez, es isomorfo a entonces es isomorfo a .

Ejemplos de isomorfismos

Por ejemplo, si X es el conjunto de los números reales positivos con el producto y Y es el conjunto de los números reales con la suma, la función logarítmica ln:X→Y es un isomorfismo, porque y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales, que suele ser más simple.

Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.

Características del isomorfismo

El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión. También significa una analogía como una forma de inferencia lógica basada en la asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos, aquellos sobre los que está hecha la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo

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