Presaberes -conjuntos - Automatas

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo de apropiar nuestro conocimiento que el estudiantes tengan una visión más amplia de los temas a tratar dentro del curso, así como también se desarrollen una serie de problemas que le permitirán al estudiante reconocer las nociones básicas de la teoría de conjuntos y sus aplicaciones determinando las aplicaciones básicas de estos sus componentes y características principales. Esto sería la base para dar inicio al modulo.

Expresar en extensión el conjunto {x|x∈N,x>10}

x={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21…∞}

Expresar en intención el conjunto {4, 6, 8, 12, 14, 16}.

{x│x∈N,pares 4 ≥x≤16,x=10∉N}x

¿Cuál es el tamaño del conjunto {Ø} (esto es, cuántos elementos contiene)? Justifique su respuesta.

Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento, ni tamaño porque está vacío, diríamos que su tamaño es cero. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único. Se define Ø, {*}.

Sean los conjuntos A = {a, b}, B = {1, 2, 3}. Calcular las siguientes operaciones:

a) (A ⋃ B)-A

(A ⋃ B)={a,b,1,2,3}

{a,b,1,2,3}-{a,b}={1,2,3}

b) A ∪(B-A)

(B-A)={1,2,3}-{a.b}={1.2.3}

{a,b}∪{1,2,3}={a,b,1.2.3}

c) 2^(A∪B)

(A∪B)={a,b,1,2,3}=(2)∧({a,b,1.2.3})

={{Ø},{a},{b},{1},{2},{3},{a,b},{a,1},{a,2},{a,3},

{b,1},{b,2},{b,3},{1,2},{1,3},{2,3}}

d) Ax(A∪B)

(AUB)={a,b1,2,3}

{a,b}*{a,b,1,2,3}={ (a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),

(b,a),(b,b),(b,1),(b,2),(b,3) }

Calcular los conjuntos potencia de los siguientes conjuntos:

{1,2,3}

2^(∧ ) 3=8 elementos

{ {Ø},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }

{a,b,c,d}

2^(∧ ) 4=16 elementos

{ {Ø},{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},

{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d},{a,b,c,d} }

{a,{b,c}}

2^(∧ ) 2=4 elementos

{ {Ø},{a},{a,b,c},{b,c},}

{Ø}

2^(∧ ) 0=1 elementos

{ {Ø} }

{1,{2,3}, {4,5},2}

2^(∧ ) 4=20 elementos

{ ({1},{{2,3}},{4,5},{2},{1,{2,3} },{1,{4,5}},{1,2},{{2,3},{4,5}},

{{4,5},2},{1,{2,3},{4,5}},{1,{2,3},2},{1,{4,5},2},{2,3},2},

{{2,3},{4,5},2},{1,{2,3},{4,5},2},{∅} )}

Sea R la siguiente relación de

A = {1, 2, 3} en B = {a, b} R = {(1, a), (1, b), (3, a)};

Representar R como un diagrama cartesiano, un diagrama de flechas y como una tabla binaria.

Tabla binaria

Sea R = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3,2), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}; dibuje un grafo considerando que el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.

Sea A = {1, 2, 3} y la relación R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3,2), (3,3)}; determinar si es una relación de equivalencia.

Reflexiva:

Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo.

Simétrica:

Si para cada par de elementos de A (1,2) que se relacionan, entonces el par simétrico también pertenece a la relación.

Transitiva:

Si para todos los elementos 1, 2, 3 que verifican que (1,2) ∈ R y (2,3) ∈ R entonces el par ordenado (1, 3) ∈ R

Podemos determinar qué R, si es una relación de equivalencia.

Por ejemplos:

Ej. Simetría Reflexividad:

(1,2) y (2,1) (1,1),(2,2),(3,3)

Ej. Transitividad:

(1,1) y (1,2) = (1,2)

(1,1) y (1,3) = (1,3)

(1,2) y (2,1) = (1,1)

(1,2) y (2,2) = (1,2)

(2,1) y (1,1) = (2,1)

(2,1) y (1,2) = (2,2)

(2,2) y (2,1) = (2,1)

(3,2) y (3,3) = (3,3)

Considere las siguientes cinco relaciones en el conjunto A = {1, 2, 3}

Determine si es verdadero o no que cada una de las relaciones anteriores es:

Reflexiva, (b) simétrica, (c) transitiva, (d) una relación de equivalencia.

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)}

a. R = No es reflexiva, por tanto, no es verdadero

b. R = No es simétrica, por tanto, no es verdadero

c. R = Es transitiva, por tanto, es verdadero

d. R = No es una relación de equivalencia debido a que, se debe cumplir que R sea reflexiva, simétrica y transitiva.

S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}

a. R = Es reflexiva, por tanto, es verdadero

b. R = Es simétrica, por tanto, es verdadero

c. R = No es transitiva, por tanto, no es verdadero

d. R = No es una relación de equivalencia debido a que, se debe cumplir que R sea reflexiva, simétrica y transitiva.

T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}

a. R = Es reflexiva, por tanto, es verdadero

b. R = No es simétrica, por tanto, no es verdadero

c. R = Es transitiva, por tanto, es verdadero

d. R = No es una relación de equivalencia debido a que, se debe cumplir que R sea reflexiva, simétrica y transitiva.

∅ = la relación vacía

No se cumple ninguna de las propiedades (reflexión, simetría, equivalencia), para que haya una relación de equivalencia.

A x A = la relación universal

La relación universal indica que cubre el conjunto en su totalidad, por tanto se cumplen las propiedades de reflexión, simetría y transitiva, por tanto R es una relación de equivalencia.

Sean A, B, C, D conjuntos. Demuestre o de contraejemplos para las Siguientes conjeturas.

Conjuntos A= {1, 2, 3} B= {2,6} C= {4,5} D= {1,7} estos son los valores a utilizar para contraejemplo:

a) A x (B ∪C)=(AxB)∪(AxC)

A x (B U C) = A x B U A x C = (A x B) U (A x C)

{1,2,3} x {2,4,5,6}

=[{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}]U [{1,5},{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}]

[{1,2},{1,4},{1,5},{1,6},{2,2},{2,4},{2,5},{2,6},{3,2},{3,4},{3,5},{3,6}]

= [{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}]U [{1,5},{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}]

[{1,2},{1,4},{1,5},{1,6},{2,2},{2,4},{2,5},{2,6},{3,2},{3,4},{3,5},{3,6}]=[{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6},{1,5},{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}]

b) A x (B ∩C)=(AxB)∩(AxC)

{1,2,3} x { Ø } =[{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}] [{1,5},{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}]

Ø = Ø

c) (A x B)∩(AxB)= Ø

[{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}] [{1,5},{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}] = Ø

Ø = Ø

d) (A⊆B⋀C⊆)→AxC⊆BxD

{1,2,3}⊆{2,6} ∧{4,5}→{1,4}{1,5}{2,4}{2,5}{3,4}{3,5}

⊆{1,2}{2,7}{6,1}{6,7}

e) A∪(BxC)=(A∪B)x(A∪C)

[{1,2,3} U {2,4},{2,5},{6,4},{6,5}] = [{1,2,3,6} x {1,2,3,4,5}]

{1,2,3},{2,4},{2,5},{6,4},{6,5} = {1,2,3},{2,4},{2,5},{6,4},{6,5}

f) A ∩(BxC)=(A∩B)x(A∩C)

{1,2,3} {2,4},{2,5},{6,4},{6,5} = [{2} x {Ø}]

Ø = Ø

g) (A x B)∩(CxD)=(A∩C)x(B∩D)

[{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}] {1,4},{1,5},{4,7},{5,7} = {Ø} x {Ø}

Ø = Ø

h) A x (B-C)=AxB-AxC

{1,2,3}x {2,6} [{1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6}]- [{1,5},

{1,4},{2,5},{2,4},{3,5},{3,4}] {1,2},{1,6},{2,2},{2,6},

{3,2},{3,6} ={1,2},{1,6},{2,2},{2,6},{3,2},{3,6 }

JUSTIFICACIÓN

El tema anterior tuvo como finalidad que el estudiante desarrollara e implementara ejercicios como estos, demostrando sus habilidades necesarias para el desarrollo del curso, reconociendo ampliamente la teoría de los conjuntos y sus diferentes operaciones matemáticas generando un aprendizaje formal de cada una de las actividades realizadas.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

Apoyo del formato PDF repaso de conjuntos

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

http://html.rincondelvago.com/conjuntos.html

http://matematica1.com/category/conjunto-potencia/

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