Procesamiento Analogico De Señales Act 6

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo reconocer la importancia del procesamiento de las señales, ya que estas están presentes en casi todo tipo de dispositivos electrónicos como equipos de comunicación y de instrumentación médica, entre otros muchos mas que manejamos a diario, además aplicar y comprender los conceptos y herramientas necesarias para el análisis y comprensión de las señales analógicas, así como el uso de los métodos matemáticos más usados en esta disciplina, principalmente las definiciones de señales y sus tipos, el muestreo, sistemas lineales, propiedades de los sistemas, cuantificación, transformación de funciones, cálculos , análisis de Fourier, entre otros necesarios para la comprensión de las mismas.

El enfoque de este trabajo ha sido en sistemas de comunicación, lograr comprender y apropiar el uso de las diferentes herramientas matemáticas desarrolladas para el tratamiento de señales y manipulación de los sistemas, además el uso de la herramienta computacional Matlab fue necesaria para el desarrollo de la actividad.

Ejercicios a desarrollar ESTUDIANTE YEISON MANUEL OSORIO LOPEZ

Parte 1: Para la función x(t) = r(t+2) - r(t+3) + r(t+1) - r(t-1) - r(t-2) + r(t-3) , Donde r(t ) es la función

Rampa, expresar las siguientes funciones y luego graficarlas.

1) x(t+2)

2) x(2.t)

3) 2.x(t/2)

4) x’(t)

Desarrollo

 r(t): Función rampa

-10-8-6-4-20246810012345678910 Funcion Rampa

 r(t+2): función rampa desplazada en el tiempo en +2

 r(t+3): función rampa desplazada en el tiempo en +3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

Función rampa r(t)

r(t+2)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

14

Función rampa r(t)

r(t+3)

 r(t+1): función rampa desplazada en el tiempo en +1

 r(t-1): función rampa desplazada en el tiempo en -1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

Función rampa r(t)

r(t+1)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Función rampa r(t)

r(t-1)

 r(t-2): función rampa desplazada en el tiempo en -2

 r(t-3): función rampa desplazada en el tiempo en -3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Función rampa r(t)

r(t-2)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Función rampa r(t)

r(t-3)

Se realizaron las graficas usando matlab 7.

Para representar la función x(t) se realiza las graficas de las distintas r(t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2

0

2

4

6

8

10

Función rampa r(t)

x(t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Función rampa r(t)

r(t+2)

r(t+3)

r(t+1)

r(t-1)

r(t-2)

r(t-3)

x(t)

1. x(t+2): función x(t) desplazada en el tiempo

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

-15 -10 -5 0 5 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

x(t-2)

2. x(2.t): función x(t) escalada en el tiempo en 2

3. 2.x(t/2): función x(t) escala en amplitud por 2 y escalada en el tiempo *1/2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

x(2.t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x(t)

2.x(t/2)

4. x’(t): derivada en el tiempo de la función x(t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

x´(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x(t)

x(t-2)

x(2.t)

2.x(t/2)

x´(t)

Parte 2: En los puntos del 5, 6, y 7 se expresan ecuaciones que representan una

transformación, donde la entrada es x (t) y la salida es y (t).Demuestre cuales de

las transformaciones son lineales y cuales no lo son.

5) y(t) = 4.x3

6) y(t) = x’+3

7) y(t) = 3.x’’ + x’ Donde x’ es la primera derivada con respecto a t. y x’’ la

segunda.

Desarrollo

Para determinar si una función es lineal o no se puede usar el principio de

superposición. Se puede usar la propiedad de homogeneidad y/o aditividad, para

le siguiente trabajo se usara la de aditividad la cual reza:

Si: xt  y t kxt ky t 

En otras palabras si a la función x(t) se multiplica por una constante su solución

tiene que ser la misma de la original per multiplicada por el valor de la constante.

1. y(t) = 4.x3. A continuación se presenta el desarrollo matemático de la

demostración.

    3

y t  4 x t Ec. 1.

    3

1 1 y t  4 x t Ec. 2.

    1 x t  k x t Ec. 3.

Reemplazando Ec.3 en Ec. 2 obtenemos:

    

    

    

    

     

3

1

3 3

1

3 3

1

3

3

1

4

4

4

4

y t k x t

y t k x t

y t k x t

donde

x t y t

reemplazando

y t k y t k y t









 

Donde se puede observar que el principio de homogeneidad no se cumple por lo

cual no es lineal.

2. y(t) = x’+3 A continuación se presenta el desarrollo matemático de la

demostración.

y t   xt  3 Ec. 4.

    1 1 y t  x t 3 Ec. 5.

La derivada en sí misma es lineal y cumple con el principio de homogeneidad por

lo cual se pasa rápidamente por este punto sin demostraciones.

    1 x t  k x t Ec. 6.

Reemplazando Ec.3 en Ec. 2 obtenemos:

   

   

     

   

 

1 1

1

1

1

3

3

3

3 3

( )

y t x t

y t k x t

y t k x t

k

donde

x t x t

k

entonces

y t k y t

 

 

 

  



Donde se puede observar que el principio de homogeneidad no se cumple por lo

cual no es lineal.

3. y(t) = 3.x’’ + x’ A continuación se presenta el desarrollo

matemático de la demostración.

y t   3 xt   xt  Ec. 7.

Como se dijo anteriormente la derivada cumple el principio de homogeneidad por

lo cual:

    2 x t  k x t Ec. 8.

Reemplazando las Ec. 6 y la Ec. 8 en la Ec. 7. Se obtiene:

     

     

      

     

 

1 1 1

1

1

1

3

3

3

3

y t x t x t

y t k x t k x t

y t k x t x t

donde

y t x t x t

reemplazando

y k y t

 

 

 

 



Donde se puede observar que el principio de homogeneidad si se cumple por lo

cual si es lineal.

Parte 3: Un sistema esta descrito por la siguiente Ecuación Diferencial: y”(t)

+4.y’(t) +3.y(t) = x(t). Cual es la salida para las siguientes entradas, El

procedimiento debe ser claro y completo.

8) x(t) = δ(t); La entrada es la función Impulso.

9) x(t) = U(t); La entrada es la función Escalón.

y t   4 y t  3y t   xt 

Para resolver yn(t) en un sistema de segundo orden se usa la transformada de

Laplace a derivadas y se obtiene sus polos y ceros, como en este caso hay dos

derivadas así mismo hay dos polos, como se muestra a continuación:

       

        2

4 3

4 3

y t y t y t x t

donde

dy

s

dt

entonces

s y t s y t y t x t

  



  

Por medio de la transformada de Laplace se obtiene la función de transferencia

del sistema

       

     

 

 

2

2

2

4 3

4 3

1

4 3

s y s s y s y s x s

y s s s x s

y s

x s s s

  

  



 

Al conocer la función de transferencia se realiza el siguiente montaje en el simulink

de matlab para realizar simulaciones que den respuesta a los numerales 8 y 9

4. impulso

Matlab no trae incluido la función impulso por tanto esta se tomo de su definición

de derivada de un escalón.

Se observa como el sistema intenta alcanzar el valor del impulso pero

rápidamente decae. A continuación se presenta un acercamiento para verificar lo

sucedido

impluso

1

s2 +4s+3

Step Transfer Fcn Scope

du/dt

Derivative

Se observa como el sistema realiza una carga y una posterior descarga, cabe mencionar como el nivel que logra es muy bajo de menos de 0.01 que comparado con el impulso que es infinito muestra la poca capacidad de almacenamiento del sistema.

5. Escalón

Los datos obtenidos son: 1s +4s+32Transfer FcnStepScope

Se observa como el sistema es sobreamortiguado y no alcanza el nivel del escalón unitario. Su característica de sobreamortiguado le permite estabilizarse.

Nota 1: las ecuaciones se realizaron usando el programa math type.

Fin ejercicios Estudiante YEISON MANUEL OSORIO LOPEZ

DESARROLLO DE EJERCICIOS ANDRES RICARDO GONZALES

1. Para la función x(t) = r(t+3) - r(t+2) - r(t+1) + r(t-1)+- r(t-2) - r(t-3) , Donde r(t ) es la función rampa, expresar las siguientes funciones y luego graficarlas.

1) x(t+1)

x(t+1) : r(t+4) – r(t+3) – r(t+2) + -r(t-1) – r(t-2)

r(t)

r(t+3)

-r(t+3)

x(t)

x(t+1)

2) x(3.t)

r(k t) = k r (t)

. x(3t) = 3x(t)

. .

Grafica

3) 3.x(t/2)

= x(t)

grafica

4) x’(t)

r’(t) = (t) La derivada de la función rampa es la función escalon

unitario.

2. En los puntos del 5, 6, y 7 se expresan ecuaciones que representan una transformación, donde la entrada es x(t) y la salida es y(t).Demuestre cuales de las transformaciones son lineales y Cuales no lo son.

5) y(t) = 4.x2

Tenemos:

- y1(t) = 4x12

Para que la transformación sea lineal; debe

cumplirse que: y12(t) = 4(x1+x2)2 =y1(t) + y2(t)

- Y2(t) = 4x22

Veamos:

Sea x1: 3t

x2: 2t2

x3: 2t3

y1(t) = 4(3t)2 =4.9t2 = 36 t2

y2(t) = 4(2t2)2 =4.4t4 = 16 t4

y12(t) = 4(3t+2t2)2

= 4(9t2+12t3+4t4)

= 36t2 +48t3 + 16t4

y1(t) + y2(t) = 36t2 + 16t4

R/ La transformación no es lineal

6) y(t) = x’+4

x1`(t) = 3 y1(t) = 3+4 = 7

x2`(t) = 4t y2(t) = 4t + 4

y1(t) + y2(t) = 7+4t+4 = 4t+11

y(x1(t)+x2(t) = (3+4t) +4 = 7+4t

R/ La transformación no es lineal.

7) y(t) = 4.x’’ Donde x’ es la primera derivada con respecto a t. y x’’ la segunda.

X1’’(t) = 0

X2’’(t) = 4

X3’’(t) = 12t x3`(t) = 2t3

x3`(t) = 6t2

x3’’ (t) = 12t

y(x1’’) = 0 y(x3’) = (12t).4 = 48t

y(x2’’) = 16 y(x2’’+x3’’) = (4+12t).4 = 16

y(x1’’) + y(x2’’) = 16 y(x2’’) + y(x3’’) = 16+48t

y(x1’’+x2’’) = (0+4).4 =16

R/ Esta transformación si es lineal.

8. Un sistema esta descrito por la siguiente Ecuación Diferencial: y”(t) +6.y’(t) +9.y(t) = x(t). Cual es la salida para las siguientes entradas, El procedimiento debe ser claro y completo.

x(t) = s(t)

y”(t) ∫ s2Y(s) – sy(0) – y`(0)

y`(t) SY(s) –y(0)

y (t) Y(s)

s (t) 1

u (t) 1/s

x (t) x(s)

S2Y(S) – sy(0) - y`(0) + 6 [SY(S) – Y(0)] + 9Y(s) = x(s)

Y(S) [s2+6s+9] – sy(0) – 6y(0) - y`(0) = x(s)

Considerando condiciones iniciales iguales a 0:

Y(S) [52+6s+9] = x(s)

Y(S)= x(s)/ s2+6s+9

Para x(t) = s(t)

x(s) = 1

Y(s) = ∫-1 y(t) = te-3t

Con Matlab: iLaplace (1/(s^2+6*s+9)

9) x(t) = U(t); La entrada es la función Escalón.

Para x(t)=u(f)

Y(s)=1/s

Y(s)= 1

2

1/

6 9

s

s s

  

 

CONCLUSIONES

 Las señales por complejas que parezcan, pueden ser reducidas por medio de métodos matemáticos para una mejor manipulación.

 El uso de herramientas y conceptos básicos matemáticos fueron fundamentales para el desarrollo de la actividad.

 La herramienta computacional Matlab es muy importante para el análisis y comprensión de las señales, ya que esta nos permite ver la variación de las mismas a partir de un modelo matemático.

BIBLIOGRAFÍA

ING217_modulo_completo_2011

Diseño año 2008

Ing. Martha Indira Cassaleth Garrido

UNAD CEAD BUCARAMANGA

CIBERGRAFÍA

http://www.angelfire.com/la/hmolina/matlab2.html

http://prof.usb.ve/lamanna/cursos/simulink.PDF

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_rampa

http://www.frsn.utn.edu.ar/tl/deftl.html

http://ed21.webcindario.com/id376.htm

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