Producto escalar y norma euclídea

1.1. Producto escalar y norma euclídea

Voy a recordarte algunas cosas que ya debes conocer. Como sabes, Rn es un espacio vectorial

en el que suele destacarse la llamada base canónica formada por los vectores {e1,e2, . . . ,en}

donde ek es el vector cuyas componentes son todas nulas excepto la que ocupa el lugar k que

es igual a 1.

Dados dos vectores x = (x1,x2, . . . ,xn), y = (y1,y2, . . . ,yn) se define su producto escalar

x

y

por:

x

y

=

Xn

j=1

xjyj = x1y1+x2y2+···+xnyn

Este producto escalar se llama producto escalar euclídeo. Observa que el producto escalar de

dos vectores no es un vector sino un número real. La notación x.y es frecuentemente usada en

los libros de Física para representar el producto escalar de los vectores x e y. Las dos notaciones

son útiles y las usaremos en lo que sigue.

Las siguientes propiedades del producto escalar se deducen fácilmente de la definición:

•

x

y

=

y

x

para todos x,y∈Rn (simetría).

•

ax+by

z

= a

x

z

+b

y

z

para todos a,b∈R

...