Producto escalar euclideo. Norma euclidea de un vector. Distancia. Topología en Rn

Producto escalar euclideo. Norma euclidea de un vector. Distancia. Topología en Rn

Retomando:

En lo que sigue Rn denota el espacio euclidiano n–dimensional.     Notemos que  R0 = {0}. Denotamos los puntos de Rn por x = (x1,...,xn), donde xi ∈ R (i = 1,...,n). Aquí, (x1,...,xn) = (y1,...,yn) significa que xi = yi para todo i = 1,...,n. En Rn tenemos una estructura natural de espacio vectorial, dada como sigue. Si x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1,...,yn) dos puntos de Rn y λ es un número real, definimos la suma x+y y el producto escalar λx, por

a) x+y=(x1+y1,...,xn+yn),

b) λx = (λx1,...,λxn),

con esta estructura Rn es un espacio vectorial de dimensión n sobre R. El elemento neutro para la suma es el vector 0 = (0,...,0), y el elemento inverso de x = (x1,...,xn) es el elemento −x = (−x1,...,−xn). Tenemos también una base destacada, = {e1,...,en}, donde para i = 1,...,n vectores ei son dados por ei = (0,...,0,1,0,...,0), con un 1 en la posición i y ceros en las restantes posiciones, la cual llamaremos base canónica, en esta base cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se escribe como:[pic 1]

x = x 1 e 1 + · · · + x n e n = .[pic 2]

Es interesante en Economía y en cualquier otra disciplina técnica el concepto de límite y esto implica el estudio de la proximidad entre puntos.

Para poder introducir la proximidad matemáticamente, hablaremos del Espacio Euclideo [pic 3], que no es más que el espacio vectorial [pic 4] en el que se ha definido un producto escalar.

Definición 5.1.: Sean [pic 5] y [pic 6] dos vectores de [pic 7] llamamos producto escalar euclideo a:

[pic 8]

Ejemplo 5.1.: Calcular el producto escalar de los siguientes vectores [pic 9] y [pic 10]

[pic 11]

Definición 5.2.: Todo espacio vectorial real en el que hay definido un producto escalar euclideo se denomina Espacio Euclideo.

Propiedades 5.1:

1. [pic 12][pic 13] (es una operación escalar).
2. [pic 14] y [pic 15] (es definida positiva).
3. [pic 16] (es simétrica).
4. [pic 17](es lineal).

A partir del concepto de producto escalar, podemos definir un concepto nuevo, que es el concepto de norma, que nos va a servir para estudiar la proximidad entre dos vectores. Hay varios tipos de norma pero nosotros solo vamos a estudiar la norma que definimos a través del producto escalar

Definición 5.3.: La norma euclidea o módulo de un vector [pic 18] es

[pic 19]

Ejemplo 5.2.: calcular la norma del vector [pic 20].

[pic 21]

Propiedades 5.2.:

1. [pic 22] (es una operación escalar)

1. [pic 23] con [pic 24](es definida positiva)
2. [pic 25]
3. [pic 26] (desigualdad triangular)

Definición 5.4.: Si una operación, [pic 27], está definida sobre un espacio vectorial y verifica todas las propiedades anteriores, diremos que dicho espacio tiene estructura de espacio normado.

Proposición 5.1.: En el espacio normado se verifica la desigualdad de Cauchy-Schwartz

[pic 28]

Además si [pic 29] tendremos que [pic 30], por lo que podemos definir [pic 31] que nos da una relación entre el ángulo entre dos vectores y el producto escalar.

Definición 5.5.: En el espacio [pic 32] decimos que la aplicación

[pic 33]

es una distancia si verifica:

1. [pic 34]
2. [pic 35]
3. [pic 36]

Ejemplo 5.3.: comprobar que [pic 37] es una distancia en [pic 38], que se denomina distancia euclidea y es la que siempre utilizaremos.

Bastaría probar que verifica las tres condiciones de la definición de distancia. En efecto:

1. [pic 39]
2. [pic 40]
3. [pic 41]

Definición 5.6.: Al espacio euclideo que se le ha dotado de una distancia se le denomina espacio métrico.

Definición 5.7.: Consideremos el espacio métrico [pic 42], y sea [pic 43]. Definimos bola abierta de centro [pic 44] y radio [pic 45] como

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