Sistemas De Representacion

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

Todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio.

Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación. Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.

Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un plano, que se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, son las características que diferencian a los distintos sistemas de representación.

SISTEMAS DE PROYECCION

En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.

Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua.

Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección central o cónica.

Proyección cilíndrica ortogonal Proyección cilíndrica oblicua Proyección central o cónica

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

Los diferentes sistemas de representación, podemos dividirlos en dos grandes grupos: los sistemas de medida y los sistemas representativos.

Los sistemas de medida, son el sistema diédrico y el sistema de planos acotados. Se caracterizan por la posibilidad de poder realizar mediciones directamente sobre el dibujo, para obtener de forma sencilla y rápida, las dimensiones y posición de los objetos del dibujo. El inconveniente de estos sistemas es, que no se puede apreciar de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los objetos representados.

Los sistemas representativos, son el sistema de perspectiva axonométrica, el sistema de perspectiva caballera, el sistema de perspectiva militar y de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el sistema de perspectiva cónica o central. Se caracterizan por representar los objetos mediante una única proyección, pudiéndose apreciar en ella, de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los mismos. Tienen el inconveniente de ser mas difíciles de realizar que los sistemas de medida, sobre todo si comportan el trazado de gran cantidad de curvas, y que en ocasiones es imposible tomar medidas directas sobre el dibujo. Aunque el objetivo de estos sistemas es representar los objetos como los vería un observador situado en una posición particular respecto al objeto, esto no se consigue totalmente, dado que la visión humana es binocular, por lo que a lo máximo que se ha llegado, concretamente, mediante la perspectiva cónica, es a representar los objetos como los vería un observador con un solo ojo.

En el siguiente cuadro pueden apreciarse la características fundamentales de cada unos de los sistemas de representación.

Sistema Tipo Planos de proyección Sistema de proyección

Diédrico De medida Dos Proyección cilíndrica ortogonal

Planos acotados De medida Uno Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva axonométrica Representativo Uno Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva caballera Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva militar Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva de rana Representativo Uno Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva cónica Representativo Uno Proyección central o cónica

• 1. DIBUJO: LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

• 2. LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN Todos los sistemas de representación de que se ocupa la geometría descriptiva están basados en métodos y teoremas que dan a conocer las formas geométricas de figuras de dos o tres dimensiones sobre un soporte plano denominado plano de cuadro. Estos sistemas se fundamentan en el concepto de proyección. Decimos que un cuerpo en el espacio es proyectado desde un punto V sobre un plano α cuando obtenemos sobre α las intersecciones de los rayos proyectantes definidos por el centro V y por los diversos puntos que forman el citado cuerpo. Uniendo estos puntos se determina una silueta a la que se llama proyección. Centro de proyección: es el punto V del que • arrancan todos los rayos proyectantes, los cuales, pasando por los puntos más significativos del cuerpo, hacen intersección con el plano del cuadro, α. Rayos proyectantes: son los rayos que, partiendo • del centro de proyección y pasando por los puntos del cuerpo, inducen sobre el plano del cuadro, α. Plano del cuadro: también denominado plano de • proyección, es aquel donde hacen intersección los rayos proyectantes que van formando la proyección de la figura o cuerpo. Cuando los rayos proyectantes son paralelos entre sí, la proyección es cilíndrica. Ésta, a su vez, puede ser de dos clases: a) Proyección cilíndrica ortogonal: sus rayos proyectantes son perpendiculares al plano del cuadro. Partiendo de estos tipos de proyección, la geometría b) Proyección cilíndrica oblicua: los rayos descriptiva ofrece diferentes sistemas de representación proyectantes son oblicuos al plano del que permiten obtener imágenes de un objeto sobre un cuadro. Finalmente, si los rayos proyectantes plano de modos diversos, cada uno de ellos con unas pasan por el punto V, o punto de vista la características específicas que los hacen más o menos proyección es cónica. apropiados al fin que se quiera dar a la representación del objeto. SISTEMAS DE SISTEMAS DE APLICACIONES PROYECCIÓN REPRESENTACIÓN CILÍNDRICO Planos acotados Topografía Diédrico Planos de taller: Isométrica Axonométrico: • Diseño Dimétrica ORTOGONAL • Arquitectura Trimétrica • Ingeniería Ingeniería Perspectiva caballera OBLICUA Arquitectura Perspectiva militar Diseño

• 3. Perspectiva cónica oblicua Arquitectura CÓNICA Perspectiva cónica frontal Decoración de interiores Escenografía EL SISTEMA DIÉDRICO Estos planos dividen el espacio en cuatro Este sistema de representación es el que más se emplea cuadrantes, de manera que los objetos pueden estar en la actualidad dentro de los ámbitos de la industria y situados en cualquiera de ellos y existe la posibilidad el diseño para describir objetos. Se distingue de los de que pueden estar representados en este sistema. otros sistemas de proyección ortogonal en que muestra Como norma, el espectador siempre estará situado de manera simultánea los objetos sobre dos planos en el primer cuadrante; por eso, consideramos opacos perpendiculares entre sí, planos denominados los dos planos de proyección, y sólo perceptibles los horizontal, PH, y vertical, PV. La intersección de estos objetos ubicados en él. planos es una recta, la línea de tierra, LT, que se Para obtener las proyecciones horizontal y vertical representa mediante una línea continua con dos de un objeto en un único plano, uno de los planos de pequeños trazos paralelos situados en la parte inferior proyección se abate sobre el otro, de forma que ambos y en los extremos. se superpongan. Esta operación se hace girando alrededor de la línea de tierra, LT, el plano horizontal, PH, hasta confundirlo con el vertical, PV; esto permite representar simultáneamente en el mismo papel de dibujo las dos proyecciones de cualquier figura plana u objeto volumétrico. Puesto que los planos de proyección carecen de límites, no se representan ya que quedan definidos por la representación de la línea de tierra. La proyección de objetos sobre le plano horizontal recibe el nombre de proyección horizontal o representación en planta. La proyección sobre el plano vertical se denomina proyección vertical o representación en alzado. Las proyecciones sobre un plano de perfil se conocen como proyecciones de perfil.

• 4. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Un punto del espacio se representa a través de sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura adjunta, el punto A se define por las proyecciones A1 y A2, que se llaman horizontal y vertical; como se puede observar, se designan con los subíndices 1 y 2 respectivamente. Al abatir el plano horizontal, PH, alrededor de la línea de tierra, LT, sobre el vertical, la proyección A1 del citado punto se traslada con el plano, de tal modo que las dos proyecciones A1 y A2 quedan situadas de forma alineada. Por eso, estas proyecciones siempre se encuentran sobre una recta perpendicular a la línea de tierra, LT, llamada línea de referencia. Concepto de cota y alejamiento Cota o altura de un punto es la distancia existente • entre ese punto y el plano horizontal o, lo que es lo mismo, la distancia que hay entre la proyección vertical del punto y la línea de tierra. Alejamiento es la distancia que va desde el punto • al plano vertical, es decir, la distancia existente entre la proyección horizontal del punto y la línea de tierra. Posiciones generales del punto en el primer cuadrante Las múltiples posiciones que un punto puede tener en el primer cuadrante se reducen a seis posiciones generales.

• 5. REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS Un sólido se representa en el sistema diédrico Alzado y planta mediante sus proyecciones ortogonales, las cuales Las proyecciones de los cuerpos verticales son los resultan de trazar rayos proyectantes por los puntos alzados y determinan dos de sus dimensiones, la altura más significativos del cuerpo, como vértices, o por y la anchura, mientras que las proyecciones todos aquellos puntos que definan su contorno. horizontales se conocen como plantas y también Uniéndolas de manera oportunas se generan las definen dos dimensiones de los cuerpos, su proyecciones del sólido. profundidad y su anchura. Un cuerpo, para definirse en un sistema de Cuando se representan sólidos es habitual no representación, necesita, como mínimo, dos dibujar la línea de tierra. Las proyecciones se proyecciones. Es conveniente que esté situado caracterizan por el lugar que ocupan en el dibujo: la paralelamente a los planos vertical y horizontal de representación superior coincide con el alzado, y la proyección, para conseguir así el mayor número inferior con la planta. posible de magnitudes reales en los elementos proyectados.

• 6. Representaciones vistas y ocultas de un sólido Para diferenciar en el dibujo las partes que están por Planta o vista superior: una vez dibujado el alzado, la • delante de la figura de las que están detrás, siempre se planta resulta al observar el objeto desde arriba. Se dibujará con línea continua las primeras, es decir, las sitúa debajo del alzado. partes vistas, y con línea discontinua las partes posteriores del cuerpo, que son las partes ocultas. Es frecuente que la información emitida por la planta y el alzado de un cuerpo con respecto a su forma y volumen no sea suficiente para saber cómo es El perfil o vista lateral éste con exactitud, por esta razón se hace necesaria una tercera proyección, la vista lateral o perfil de la figura. Las vistas principales de un cuerpo son las siguientes: • Perfil o vista lateral: es la tercera representación que • Alzado o vista principal: recibe ese nombre la cara de se puede hacer de un sólido para su determinación mayor relevancia de un cuerpo o la que más datos exacta. Se obtiene mirando el objeto desde uno de contiene; es, por tanto, la vista que determina la sus laterales y en el dibujo se ubica junto al alzado. situación de las demás. Se obtiene mirando el cuerpo frontalmente.

• 7. EL CROQUIS EN EL DISEÑO INDUSTRIAL El ser humano siempre ha tenido la necesidad de representar los objetos que le rodean, los que Una vez terminado, sirve como base para realizar inventa para mejora su vida, etc. En cualquier el dibujo técnico del objeto (plano de taller), caso, esta representación comienza con una fundamental para su posterior elaboración en la imagen gráfica, el croquis, que consiste en un industria. El dibujo técnico se puede hacer con dibujo rápido, hecho a lápiz y a mano alzada, en el instrumentos convencionales de trazado (compás, que se detallan todas las formas y dimensiones del estilógrafo, regla,...) o por medio del ordenador, objeto. aplicando programas de dibujo o diseño. Esta última opción garantiza una gran calidad y precisión en las El croquis puede fundamentarse en representaciones, así como rapidez de ejecución. proyecciones diédricas o en perspectiva. Debe ser limpio y claro, y no tener muchas líneas que puedan confundir su interpretación.

• 8. TRAZADOS DE VISTAS DE OBJETOS Flechas de cota: cuya forma es la de un triángulo Para dibujar correctamente las vistas de los objetos es • alargado. conveniente que se aplique a los croquis estas sencillas normas de trazado y acotación. Líneas de referencia: líneas también finas que se • trazan, generalmente, perpendiculares a los Los elementos fundamentales de un croquis son los segmentos que se tienen que acotar. siguientes: Cifra de cota: indicación numérica de la medida del Líneas de cota: que son finas y terminan en dos • • segmento. flechas.

• 9. REPRESENTACIÓN DE EDIFICIOS EN EL SISTEMA DIÉDRICO En el dibujo arquitectónico se emplea frecuentemente el sistema diédrico para representar las diversas creaciones que se realizan en el ámbito de la arquitectura: edificios de viviendas, hospitales, institutos, etc. Arquitectos y diseñadores usan este sistema diédrico por la gran precisión y semejanza con la realidad que se consigue en sus representaciones y, sobre todo, por la información gráfica y métrica que aporta al observador. Si analizamos el alzado de la figura, observaremos que, además de mostrar el aspecto estético y funcional que forman los elementos arquitectónicos de la fachada del edificio (ventanas, puertas, cornisas, etc.), nos informa de las alturas y anchuras de éstos. Del mismo modo, la planta determina las profundidades y anchuras de la construcción en general.

• 10. EL SISTEMA AXONOMÉTRICO Ya hemos señalado que el sistema axonométrico tiene además de la representación de la tres aristas o ejees como base de referencia un triedro trirrectángulo.Este del triedro. triedro está formado por tres planos que son Como se aprecia en la figura, la imagen del cubo perpendiculares entre sí. Para representar un objeto en que se ha obtenido al aplicar el proceso descrito este sistema, se le ha de situar dentro del espacio que anteriormente es algo diferente de la imagen real de comprende el triedro, con una poryección cilíndrica éste. No obstante, el poliedro está definido con la sobre el plano de representación. De esta manera suficiente precisión como para comprender su obtendremos una imagen en perspectiva del sólido, configuración volumétrica y sus características formales. Tipos de proyecciones cilíndricas en el sistema axonométrico El concepto de proyección determina el proceso por el que se obtiene una imagen sobre un plano de la figura bidimensional o tridimensional situada en el espacio. Por tanto, las proyecciones cilíndricas son aquéllas que consisnten en trazar rayos proyectantes paralelos entre sí por los puntos más significativos de las figuras hasta cortar el plano del dibujo. El sistema axonométrico está conformado por dos grandes bloques de perspectivas axonométricas: La primera de ellas, la axonometría ortogonal, se • denomina así por estar basada en una proyección cilíndrica ortogonal. La segunda, la axonometría oblicua, se fundamenta • en una proyección cilíndrica oblicua.

• 11. FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL Las proyecciones en el plano del dibujo de las aristas del triedro (XYZ), tyambién llamadas ejes, resultan al proyectar ortogonalmente todos los puntos que forman dichos ejes. Para ello, se hallan los puntos de intersección de éstos con el plano del cuadro del dibujo, con lo que se obtienen los puntos A, B, C. Uniéndolos con el punto O', proyección ortogonal de O, donde se cortan los ejes axonométricos, tendremos las proyecciones de los ejes, y si, además, unimos los puntos traza (A, B, C) entre sí, determinaremos el triángulo fundamental de las trazas. Cuando se proyecta un objeto en este sistema, sus magnitudes varían; la razón existente entre el tamaño de un objeto real y su imagen proyectada se denomina coeficiente de reducción. Cuando no se utiliza este coeficiente, se dice que se está realizando un dibujo isométrico; sin embargo, cuando se aplica, se obtiene una perspectiva isométrica. Tipos de axonometría ortogonal Al proyectar los ejes axonométricos (X, Y, Z) sobre el b) Perspectiva dimétrica, dos ángulos son iguales y planodel dibujo, forman entre sí los ángulos α, β y γ, otro es distento; por tanto, dos coeficientes de cuyos valores difieren dependiendo de la posición reducción son iguales y el otro desigual. que estos ejes tengan respecto al plano. Las c) Perspectiva trimétrica, todos los ángulos son diferencias de ángulos generan las tres axonometrías diferentes, al igual que los coeficientes de siguientes: reducción. a) Perspectiva isométrica, los tres ángulos α, β y γ, son iguales. El coeficiente de reducción es el mismo para los tres ejes.

• 12. TRAZADO DE SÓLIDOS Para representar sólidos en perspectiva isométrica, perspectiva isométrica partiendo de su representación conviene partir de los datos más significativos del en el sistema diédrico. cuerpo volumétrico. Esta información suele venir 1. Se hacen proyecciones en el sistema diédrico de un dada por el sistema diédrico mediante sus sólido. representaciones en planta, alzado y vista lateral. 2. Se dibuja un sistema de ejes coordenados para Para pasar de la representación de un cuerpo en el situar los puntos 1, 2, 3, ....., y 9 de la base del sistema diédrico a perspectiva isométrica es sólido. importante que su posición no varíe en el cambio. Para ello, se debe representar la situación del cuerpo 3. Las coordenadas pasan a ser los ejes isométricos. respecto a los planos de proyección. Por tanto, los Se transportan las medidas tomadas en las ejes isométricos tendrán que coincidir con el sistema proyecciones diédricas al dibujo isométrico. de coordenadas de la representación diédrica. 4. Se llevan a las aristas laterales del sólido sus En la representación del sólido que ves a correspondientes altura y se completa su trazado. continuación puedes observar el proceso de elaboración que se ha seguido para llegar a su

• 13. LA PERSPECTIVA CABALLERA La perspectiva que se obtiene al proyectar un punto, figura plana o cuerpo volumétrico del espacio en el plano del cuadro o del dibujo, según una proyección cilíndrica oblicua, se denomina perspectiva caballera. Esta perspectiva se fundamenta en el uso de un triedro trirrectángulo, cuyas trazas se toman como ejes (X, Y, Z) de referencia del sistema y de medida. Los ejes que expresan las magnitudes de altura Z y anchura X de una figura conservan sus dimensiones reales, por ser el plano ZOX paralelo o por estar formando parte del plano del cuadro. Sin embargo, el eje Y, perpendicular a dicho plano, expresa la profundidad, la cual se ve modificada aplicando un coeficiente de reducción para lograr que la representación gráfica del objeto transfiera la sensación de realidad de sus proporciones reales.

• 14. Coeficiente de reducción Como se puede apreciar en la figura adjunta, al proyectar los ejes sobre el plano del dibujo, el eje Y no permanece en veradera magnitud. Se forma una relación métrica entre magnitudes reales, es decir, las del espaico y las obtenidas en el dibujo al ser proyectadas las primera. Tal relación métrica se conoce como coeficiente de reducción y habitualmente la determina el dibujante en función de criterios de mayor claridad y rigor o de otros puramente estéticos. El coeficiente se puede establecer de manera gráfica o numéricamente, siendo los valores más emplieados 1/2, 2/3 y 3/4, aunque cabe utilizar cualquier otra fracción que sea menor que la unidad para no generar desproporciones en el dibujo.

CUAL ES LA IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE REPRESENTACION

El papel que juegan las representaciones dentro de este marco tiene una importancia muy relevante, y así queda patente en el gran número de programas instruccionales que consideran básico en su estructura un análisis pormenorizado de los sistemas representacionales que intervienen en la educación matemática

“Los programas de instrucción matemática, deberían enfatizar las representaciones matemáticas para fomentar la comprensión de las matemáticas de forma que todos los estudiantes:

• Creen y usen representaciones para organizar, memorizar y comunicar ideas matemáticas.

• Desarrollen un repertorio de representaciones matemáticas que puedan usarse de forma útil, flexible y apropiada.

• Usen representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.”

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