Teoremas Y Postulados De álgebra De Boole

TEOREMAS Y POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS DE MORGAN

1. Propiedad de cierre.

Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.

Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.

2. Ley asociativa.

El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que

x*y*z = x*(y*z) para toda x, y pertenecientes a S.

3. Ley conmutativa.

Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:

x*y = y*x para toda x,y pertenecientes a S.

4. Elemento identidad.

El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.

5. Inversa.

El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.

6. Ley distributiva.

Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.).

Siempre que:

x*(y . z) = (x*y) . (x*z)

- El operador binario (+) define la adición.

- Identidad aditiva es el cero.

- La inversa aditiva define la sustracción.

- El operador binario (.) define la multiplicación.

- Identidad multiplicativa es 1.

- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es A * 1/A = 1

- La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador +

(.) sobre (+) a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington.

1.

a) Cierre con respecto al operador (+)

b) Cierre con respecto al operador (.)

2.

a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x

b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x

3.

a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x

b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x

4.

a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)

b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)

5. Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:

a) x+x’ = 1

b) x’ = 0

6. Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y. Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria en la sig:

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra ordinaria.

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división.

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra en el álgebra ordinaria.

e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Postulado 2 a) x + 0 = x b) x . 1 = x

Postulado 5 a) x + x’ = 1 b) x . x’ = 0

Teorema 1 a) x + x = x b) x . x = x

Teorema 2 a) x + 1 = 1 b) x . 0 = 0

Teorema 3 involución (x’)’ = x

Teorema 3 conmutativo a) x + y = y + x b) xy = yx

Teorema 4 asociativo a) x + (y + z) = (x + y) +z b) x (yz) = (xy) z

Postulado 4 distributivo a) x (y + z) = xy +xz b) x + yz = (x + y)(x+z)

Teorema 5 morgan a) ( x + y)’ = x’ y’ b) (xy) = x’ + y’

Teorema 6 absorción a) x + xy = x b) x (x + y) = x

Ejemplos:

x + x = x x + xy = x

x + x = (x + x) . 1 x . 1 + xy = x

x + x = (x + x) (x + x’) x (1 + y) = x

x + x = x + xx’ x (y + 1) = x

x

...