ALGEBRA BOOLEANA

ALGEBRA DE BOOLE

Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole (1851-1864), desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma similar al álgebra tradicional

El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el diseño de los sistemas digitales

El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables lógicos.)

Propiedades:

a)

Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra, se verifica:

a + b = b + a a . b = b . a

b)

Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:

0 + a = a 1 . a = a

c)

Cada operación es distributiva con respecto a la otra:

a . ( b + c) = a . b + a . c a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

d)

Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a , tal que:

a + a = 1 a . a = 0

La operación sumase asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie

El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero,

Es decir está cerrado cuando aquél está abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado.

Se puede considerar las matemáticas de los sistemas digitales.

Operaciones básicas:

Adición booleana.

Multiplicación booleana.

Adición booleana.

La suma booleana es equivalente a la operación OR:

–

Un término suma es igual a 1 cuando uno o más de sus literales es un 1.

–

Un término suma es igual a 0 si y sólo si cada uno de sus literales es 0

Multiplicación booleana.

La multiplicación booleana es equivalente a la operación AND:

–

Un término producto es igual a 1 si y sólo si cada uno de sus literales es un 1.

–

Un término producto es igual a 0 si uno o más de sus literales es 0

Teoremas de Algebra de Boole

1. llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatros postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros.

2. Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a + 1 = 1 y a . 0 = 0

3. elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a + a = a y a . a = a

4. Para cada par de elementos del álgebra de Boole a y b se verifica:

a + ab = a y a ( a + b) = a

Esta ley se llama Ley de Absorción.

5. En un álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c

a ( b c) = ( a b ) c = a b c

LEYES

LEYES CONMUTATIVAS

El orden en OR:

1. Ley conmutativa de la suma para dos variable

El orden en AND:

Ley conmutativa de la suma para dos variables Ley conmutativa de la multilicación para dos variable

LEYES ASOCIATIVAS

Al aplicar la operación OR a más de dos variables

Ley asociativa de la suma para tres variables

Al aplicar la operación AND a más

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