Actividad integradora Matematicas

La función L(x)=4x^3-32x^2+60x representa la elaboración del contenedor de basura. Determina el volumen del contenedor cuando los cortes (x) miden 0, 1, 2 y 3 metros. Para logarlo, deberás calcular el valor del límite de la función con estos valores específicos de x. No olvides expresar el resultado en m3, ya que se trata de volumen.

Realiza aquí las operaciones completas:

lim┬(x→0) limx→0(4x3-32x2+60x) 4(0)3-32(0)2+60(0) 4(0)-32(0)+60(0) 0-0+0=0 |

lim┬(x→1) limn→1(4x3-32x2+60x) 4(1)3-32(1)2+60(1) 4(1)-32(1)+60(1) 4-32+60=32 |

lim┬(x→2) limn→2(4x3-32x2+60x) 4(2)3-32(2)2+60(2) 4(8)-32(4)+60(2) 32-128+120=24 |

lim┬(x→3) limn→3(4x3-32x2+60x) 4(3)3-32(3)2+60(3) 4(27)-32(9)+60(3) 108-288+180=0 |

Interpreta los resultados completando esta tabla:

Si se realizan cortes de 0m, el volumen del contenedor será: 0m³

Si se realizan cortes de 1m, el volumen del contenedor será: 32m³

Si se realizan cortes de 2m, el volumen del contenedor será: 24m³

Si se realizan cortes de 3m, el volumen del contenedor será: 0m³

Determina el comportamiento de la función L(x)=4x^3-32x^2+60x y deduce cuál es la mejor medida del corte a realizar para que el contenedor tenga el máximo volumen.

Primero obtén la primera derivada de la función y determina el valor máximo y el mínimo.

Realiza aquí las operaciones completas:

Interpreta los resultados completando esta tabla:

El volumen máximo que puedo obtener es: 32.83m³

El corte de x que debo de hacer para obtener este volumen es: 1.21m³

Ahora verifica tu resultado: aplica el concepto de la segunda derivada y determina la concavidad de la función.

Realiza aquí las operaciones completas:

Interpreta los resultados y deduce la concavidad completando esta tabla:

Segunda derivada Signo Concavidad Comportamiento Gráfica

Resultado encontrado ANTES del valor de x:

__________

Negativo

L"(x)˂0

Cóncava hacia abajo

ᵔ

Resultado encontrado DESPUÉS del valor de x:

___________

Positivo

L"(x)˃0

Cóncava hacia arriba

ᵁ

Ahora concluye: ¿cuál es el comportamiento de la función? Elige la gráfica que le corresponda usando el resaltador de texto

a)

b)

c)

Determina el volumen acumulado del contenedor a partir de realizar todos los posibles cortes de 0 a 3m. Para lograrlo, aplica tus conocimientos de la integral y obtén el área bajo la curva.

Realiza aquí las operaciones completas:

Escribe el resultado:

El volumen acumulado del contenedor a partir de realizar todos los posibles cortes de 0 a 3m es:

63m³

...