Algoritmos

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para Integración por partes.

Si revisamos el tema de diferenciales podemos ver que el diferencial del producto entre dos funciones es,

.

Una forma equivalente es,

Al integrar ambos lados obtenemos una ecuación muy útil para encontrar primitivas,

Esta es la ecuación de la integración por partes.

Una forma fácil para recordar la ecuación de integración por partes, es mediante la siguiente frase, tomando en cuenta únicamente la primera letra de cada palabra.

"Solo Un Día Vi, Un Valiente Soldado, Vestido De Uniforme"

Nota

• El objetivo de usar la integración por partes es obtener una integral más simple que aquella con la que se inició.

Estrategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5. Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma facil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas facil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e) Una integral por parte se puede identificar como ciclica de una manera muy sencilla, si se ve una exponencial con una trigonometrica especificamente seno o coseno esa integral es ciclica.

Encontrar:



Hacemos y

Entonces u, v, du y dv son:

Ahora tenemos:

Y nuevamente hacemos:

Para obtener:

Ejemplo #5

Encontrar:



Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

Ejemplo #6



Hacemos:

Usando la ecuación de integración por partes:

Tenemos que:

Ejemplo # 7

Encontrar:



Hacemos:

Entonces, usando la ecuación de integración por partes tenemos:

Ejemplo # 9

Encontrar:



Hacemos:

Entonces:

lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral volvemos a integrar por partes:

...