Aplicación de las derivadas

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.

Las derivadas son muy importantes en la vida diaria porque tienen muchas aplicaciones y se pueden aplicar en muchos lugares para calcular distintas cosas. Una de esas aplicaciones puede ser en las fábricas que elaboran latas, cajas, etc. Les puede servir para calcular dimensiones mínimas o máximas, para poder gastar menos, ocupar menos material, etc.

Por ejemplo un recipiente cilíndrico cerrado con una capacidad de 90〖 cm〗^3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones para ocupar el material mínimo?

V=πr^2 h=90

A_cuerpo=2πrh

A_tapa=πr^2

A_total=2πrh+2πr^2

DESARROLLO

Variables: “r” y “h”

Despejar h (altura).

πr^2 h=90

h=90/(πr^2 )

Sustituir “h” en el área total.

A=2πr(90/(πr^2 ))+2πr^2

A= 180/r+2πr^2

Derivar la función e igualarla a 0.

f(r)= 180/r+2πr^2

f^' (r)=-180/r^2 +4πr=0

Despejar “r”.

(-180+4πr^3)/r^2 =0

-180+4πr^3=0

r^3=180/4π

r=∛(90/2π)=2.42859

Sustituir el valor “r” obtenido en la fórmula de h (altura).

h=90/(πr^2 ) h=90/(π〖(2.42859)〗^2 )

h=4.85718

Verificar que es el mínimo con la segunda derivada.

f´´(r)=360/r^3 +4π

f´´(2.42859)=360/〖(2.42859)〗^3 +4π=37.69 (+)∴es un mínimo

Otra aplicación seria que esa misma fabrica elabora cajas con base cuadrada con capacidad de 900 〖cm〗^3 y el costo de la base y la tapa es de $5.00 por cada 〖cm〗^2 y los lados es de $3.00 por cada 〖cm〗^2. ¿Cuáles serán las dimensiones para que sea construida con el gasto mínimo?

V=x^2 y=900 〖cm〗^3

Fórmula del área la base y la tapa de la caja: A=2x^2

Fórmula de los lados de la caja: A=4xy

Área total de la caja: A=2x^2+4xy

Costo de la caja: f(x)=(2x^2 )(5)+(4xy)(3)

f(x)=10x^2+12xy

DESARROLLO.

1°. Despejar “y” de la fórmula del volumen.

x^2 y=900

y=900/x^2

2°. Sustituir “y” en la fórmula del costo.

f(x)=10x^2+12xy

f(x)=10x^2+12x(900/x^2 )

f(x)=10x^2+10800/x=(10x^3+10800)/x

3°. Derivar la función e igualar a 0.

f(x)=(10x^3+10800)/x

f´(x)=(20x^3-10800)/x^2 =0

4°. Despejar x.

(20x^3-10800)/x^2 =0

20x^3-10800=0

x^3=10800/20=540

x=∛540 = 8.1433

5°. Sustituir el valor de “x” en la formula de “y”.

y=900/x^2

y=900/〖(8.1433)〗^2 =13.5719

y=13.5719

6°. Comprobar con la segunda derivada.

f´´(x)=(20x^4+21600x)/x^4

f´´(8.1433)=(20〖(8.1433)〗^4+21600(8.1433))/〖(8.1433)〗^4

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