CALCULO.

Evalua la integral ∫_1^5▒〖e^x dx〗

Sea la funcion f(x)=e^x es una funcion continua

por la segunda parte del teorema fundamental del calculo queda

∫_1^5▒e^x dx=f(5)-f(1)=e^5-e

Calcula el área bajo la curva y=x^3 des 0 a 1

La anti derivada f(x)=x^3 es F(x)=1/4 x^4 entonces para calcular el área A se usa la segunda parte del teorema fundamental del cálculo queda entonces:

A=∫_0^1▒x^3 dx=x^4/4 ⊐_0^1=1^4/4-0^4/4=1/4

Calcule ∫_0^2▒|2x-1|dx

Por medio de la definición del valor absoluto

|2x-1|={(-(2x-1) x≤1/2)/(2x-1 x≥1/2)}

De hay la integral se puede romper en dos partes.

∫_0^2▒|2x-1|dx=∫_0^(1⁄2)▒〖-(2x-1) 〗 dx+∫_(1⁄2)^2▒(2x-1) dx= [〖-x〗^2+x]_0^(1⁄2)+[x^2-x]_(1⁄2)^2=(-1/4+1/2)^(1⁄2)-(0+0)+(4-2)-(1/4-1/2)=5/2

Halla la integral de ∫_1^3▒dx/x

Tambien puede ser ∫_1^3▒1/x dx entonces la antiderivada de f(x)=1/x es F(x)=ln⁡|x| con el intervalo 1≤x≤3 es entonces F(x)=ln⁡〖x entonces〗

∫_1^3▒1/x dx=ln⁡〖├ x]_1^3 〗=ln⁡〖3-ln⁡1 〗=ln⁡〖3/1〗=ln⁡3

Calcula d/dx [∫_0^x▒〖√(t^2+1) dt〗]

sea f(t)=√(t^2+1) Una función continua y por lo tanto aplicando el primer teorema fundamental del cálculo se obtiene:

d/dx [∫_0^x▒√(t^2+1) dt]=√(x^2+1)

Calcula la función

F=∫_0^x▒costdt en x=0 π⁄6_1 π⁄4_1 π⁄3_1 π⁄2

Fijemos a x como una constante y aplicando el teorema segundo fundamental del calculo.

∫_0^x▒〖costdt=sen├ t]_0^x 〗=senx-sen0=senx

Usando F(x)=senx evaluado para cada valor de x por tanto

F(0)=0,F(π/6)=1/2,F(π/4)=√2/2,F(π/3)=√3/2,F(π/2)=1

Halla la derivada de

F=∫_(π⁄2)^(x^3)▒costdt

Haciendo ∪=x^3 podemos aplicar el primer teorema fundamental del cálculo junto con la regla dela cadena.

F´(x)=dF/du du/dx

F´(x)=d/du [∫_(π⁄2)^u▒costdt] du/dx

F´(x)=(cosu)(〖3x〗^2 )

F´(x)=(〖cosx〗^2

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