Calculo

CALCULO INTEGRAL

CAMPUS CD. ALEMAN

17/06/2015

MARIA INES RODRIGUEZ USCANGA

TRABAJO FINAL

CALCULO INTEGRAL

ING. EDER DE JESUS GUZMAN FRANCO

CAMPUS CD. ALEMAN

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD VI

TRABAJO FINAL

ING. EDER DE JESUS GUZMAN FRANCO

MA. INES RODRIGUEZ USCANGA

No. CONTROL: 145Q0567

INGENIERIA INDUSTRIAL

17 DE JUNIO DE 2015; CD. ALEMAN, VER.

ÍNDICE

ÍNDICE GRAFICO

INTRODUCCIÓN

4.3 SERIE DE POTENCIA

Cuando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1, entonces

Definición 1: Sea una sucesión de números reales cualquiera.

Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .

Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.

Por ejemplo,

Son series de potencias centradas en 0,

1 y -2, respectivamente.

Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie converge.

En particular, el dominio siempre contiene al punto x = c, en el cual vale:

Ejemplo: Consideremos la serie de potencias

Usando el criterio del cociente y el hecho que

Tenemos que la serie converge si R = |x| < 1 y diverge si |x| > 1. Para determinar que ocurre en

|x| = 1, observemos que

De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función

Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.

De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función

Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.

Teorema 1 (Convergencia de series de potencias)

Para una serie de potencias centrada en C, ocurre alguna de las tres siguientes posibilidades:

a) La serie converge sólo en c.

b) Existe un número R > 0 tal que la serie converge absolutamente si |x - c| < R y diverge si |x - c| > R.

c) La serie converge para todo

Demostración: Sea una serie centrada en c. Demostraremos sólo el caso particular en el cual el límite existe, el cual es suficiente para los ejemplos y problemas que veremos.

Tenemos, en virtud del criterio del cociente, que la serie converge en x siempre que 0 < L <

Definición 2 Dada una serie de potencias centrada en C, definimos el radio de convergencia R

Como

• a) 0 si la serie converge sólo en c.

• b) 0 < R <<img src="image019.gif"

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