Composicion De Funciones

PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

INTRODUCCIÓN:

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar” Hipatia de Alejandría. La importancia de este trabajo radica en que servirá para fortalecer las principales propiedades aplicadas en la composición de funciones como son la asociativa e inversa, adicional veremos otras propiedades aplicadas y demostraremos si se cumplen mediante ejercicios de aplicación con la cual espero obtener resultados positivos en el proceso de enseñanza- aprendizaje de mis compañeros.

DESARROLLO:

Propiedad asociativa.- dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que f o (g o h) = (f o g) o h

Ejemplo

Dadas las funciones:

Comprobar [(h o g) o f](x)= [h o (g o f)](x)

[(h o g) o f](x) [h o (g o f)](x)

Resolvemos h o g Resolvemos g o f

h o g=h[g(x)]=1/x= 1/((2x-1)/(2x+1))=(2x+1)/(2x-1)

A continuación h o g o f. Donde h 0 g ≡h^1;

A continuación h o g o f

h o g o f= h^1 [f(x)]=(2x+1)/(2x-1)= (2(1/(2x-1))+1)/(2(1/(2x-1))-1)=(2x+1)/(-2x+3)

Propiedad conmutativa.- la composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: g o f ≠ f o g; Son en general dos funciones distintas.

Ejemplo

Sean las funciones:

Comprobar que: g o f ≠ f o g

Función identidad.- El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x. ⟹ f o i = i o f = f

Ejemplo:

Dadas las funciones: i(x)=x

Calcular: (f o i)(x)= Calcular: (i o f)(x)=

(f o i)(x)=f[i(x)]= (x+2)/(2x+1)

(i o f)(x)=i[f(x)]= (x+2)/(2x+1)

Inversa de la composición.- la inversa de la composición de dos funciones es:

Ejemplo:

Sean las funciones:

Comprobar:

g[f(x)]= (x+3)/(2x+1)

f(x)=3x+2

y=3x+2

x=(y-2)/3

f^(-1) (x)=(y-2)/3

g(x)= (x+3)/(2x+1)

y= (x+3)/(2x+1)

2xy+y= x+3

x(2y-1)=3-y

x=(3-y)/(2y-1)

g^(-1) (x)=(3-x)/(2x-1)

(g of)(x)= (3x+5)/(6x+5)

y=(3x+5)/(6x+5)

6xy+5y=3x+5

6xy-3x=5-5y

x(6y-3)=5-5y

x=(5-5y)/(6y-3)

〖(f〗^(-1) o g^(-1))(x)=f^(-1) [g^(-1) (x)]=

(x-2)/3= ( (3-x)/(2x-1)-2)/3=

((3-x-4x+2)/(2x-1))/3=(5-5x)/(6x-3)

(g o f)^(-1) (x)=(5-5x)/(6x-3)

〖(f〗^(-1) o g^(-1))(x)=(5-5x)/(6x-3)

CONCLUSIÓN:

Finalmente podemos deducir que las propiedades principales en la composición de funciones son la asociativa e inversa las cuales nos servirán de mucho en la resolución de ejercicios de todo tipo acerca de este tema y en general de funciones; sin olvidar también las otras dos propiedades ya que básicamente están basadas en lo que no debemos hacer.

WEBGRAFIA:

http://www.vitutor.com/fun/2/a_4.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_compuesta

http://olmo.pntic.mec.es/~agog0016/funcione/paginas/composic.htm

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