Derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x el punto de abscisa x =1.

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 y –1.

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