Derivadas

Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa

Universitat de Val`encia

Derivadas

Reglas de derivacion

Suma

d [f (x) + g(x)] = f 0 (x) + g0 (x)

dx

Producto

d [kf (x)] = kf 0 (x)

dx

d [f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)

dx

Cociente d • f (x) ¸ = f 0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)

dx g(x) g(x)2

Regla de la cadena

d

dx {f [g(x)]} = f 0 [g(x)]g0 (x)

d

dx {f (g[h(x)])} = f 0 (g[h(x)])g0 [h(x)]h0 (x)

Potencia

d (xk ) = kxk−1 d [f (x)k ] = kf (x)k−1 f 0 (x)

dx dx

d (√x) = d (x1/2 ) = 1 d [pf (x)] = f 0 (x)

dx dx 2√x dx 2pf (x)

d µ 1 ¶ d 1 d • 1 ¸ f 0 (x)

= (x−1 ) = − = −

dx x dx x2 dx f (x) f (x)2

2

Reglas de derivacion (continuacion)

Trigonom´etricas

d (sin x) = cos x d [sin f (x)] = cos f (x)f 0 (x)

dx dx

d (cos x) = − sin x d [cos f (x)] = − sin f (x)f 0 (x)

dx dx

d (tan x) = 1 + tan2 x d [tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f 0 (x)

dx dx

Funciones de arco

d (arcsin x) = √ 1 d [arcsin f (x)] = f (x)

0

dx 1 − x2 dx p1 − f (x)2

d (arc cos x) = √ −1 d [arc cos f (x)] = − f (x)

0

dx dx p

1 x2 1 − f (x)2

−

d (arctan x) = 1 d [arctan f (x)] = f 0 (x)

dx 1 + x2 dx 1 + f (x)2

Exponenciales

d (ex ) = ex d (ef (x) ) = ef (x) f 0 (x)

dx dx

d (ax ) = ax ln a d (af (x) ) = af (x) ln af 0 (x)

dx dx

Logar´ıtmicas

d (ln x) = 1 d (ln f (x)) = f 0 (x)

dx x dx f (x)

d (lg x) = 1 1 d (lg f (x)) = f 0 (x) 1

dx a x ln a dx a f (x) ln a

Ejercicios de derivadas

1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.

Solucion.- a) 3/4, b) 3.

2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.

Solucion.- a) -4, b) -1.

3. Hallar la derivada de la funci´on y = x4 + 3x2 − 6.

Solucion.- y0 = 4x3 + 6x.

4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x3 − x2 .

Solucion.- y0 = 18x2 − 2x.

5 2

5. Hallar la derivada de la funci´on y = x − x .

Solucion.- y0 = 5x − 2x .

a+b

a−b

a+b

a−b

3 2

6. Hallar la derivada de la funci´on y = x − x +1 .

2

0 −

5

7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax3 − x + c.

Solucion.- y0 = 6ax2 − 2x .

7 5

8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.

5 3

Solucion.- y0 = 21x 2 + 10x 2 + 2.

9. Hallar la derivada de la funci´on y = √3x + √3 x + 1 .

√ 3

1 1

Solucion.- y0 = 2√x + 3 √3 x2 − x2 .

10. Hallar la derivada de la funci´on y = (x+1) .

x 2

2

−

5

2x 2

11. Hallar la derivada de la funci´on y = √3 x2 − 2√x + 5.

Solucion.- y0 = 2 1 − 1 .

3 √3 x √x

2 √3

12. Hallar la derivada de la funci´on y = ax + b − √ x .

Solucion.- y0 = 5 ax 2

√3 x

3 bx− 5 + 1 x− 7 .

x√x x

3 3 − 2 2 6 6

13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ).

Solucion.- y0 = 4x(1 + 3x + 10x3 ).

14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2).

Solucion.- y0 = 2(9x2 + x − 1).

15. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).

Solucion.- y0 = 6x2 − 26x + 12.

4

16. Hallar la derivada de la funci´on = .

b2 −x2

3 2 2

Solucion.- 0 = 4x (2b − x ) .

(b2 −x2 )2

17. Hallar la derivada de la funci´on y = a− x .

Solucion.- y0 = − 2a .

18. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t .

2 2

Solucion.- f 0 (t) = t (3+t .

19. Hallar la derivada de la funci´on f (s) = (s+4) .

Solucion.- f 0 (s) = (s+2)(s+4) .

3

20. Hallar la derivada de la funci´on = .

x2 −x−2

4 3 2

Solucion.- 0 = x −2x −6x −2x+1 .

(x2 −x−2)2

21. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x2 − 3)2 .

Solucion.- y0 = 8x(2x2 − 3).

22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x2 + a2 )5 .

Solucion.- y0 = 10x(x2 + a2 )4 .

23. Hallar la derivada de la funci´on y = √x2 + a2 .

Solucion.- 0 = x .

x2 +a2

24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x)√a − x.

Solucion.- y0 = a−3x .

−

25. Hallar la derivada de la funci´on y = q 1+x .

1−x

Solucion.- y0 = 1 .

(1−x) 1−x

26. Hallar la derivada de la funci´on y = 2x −1 .

x 1+x

Solucion.- y0 = 1+4x 3 .

x2 (1+x2 ) 2

27. Hallar la derivada de la funci´on y = √3 x2 + x + 1.

Solucion.- y0 = 2x+1 .

3 (x +x+1)

28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + √3 x)3 .

2

1

√3 x

29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2 x.

Solucion.- y0 = sin 2x.

30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sin x + cos 3x.

Solucion.- y0 = 2 cos x − 3 sin 3x.

31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b).

Solucion.- y0 = a .

32. Hallar la derivada de la funci´on y = sin x .

Solucion.- y0 = 1 .

33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2x cos 3x.

Solucion.- y0 = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.

34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot2 5x.

Solucion.- y0 = −10 cot 5x csc2 5x.

35. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t sin t + cos t.

Solucion.- f 0 (t) = t cos t.

36. Hallar la derivada de la funci´on

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