Diseño De Sistemas Digitales

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El álgebra Boole consiste en reglas algebraicas, basadas en la teoría de conjuntos, para manejar ecuaciones de lógica matemática. Es llamada así en honor del matemático George Boole, que la introdujo en 1847.

Para el álgebra de Boole nos interesan principalmente dos operaciones, (multiplicación y suma) que se definen para el caso básico, que es cuando solo tenemos 2 variables. Y el caso de la negación.

AND (Y lógico) •

OR (O lógico) +

NOT (NO lógico)

Objetivo: El objetivo de esta práctica es poder lograr la simplificación de circuitos mediante las reglas que establece el algebra de boole, hay teoremas como los de De Morgan que podemos aplicar a las expresiones para facilitar su comprensión. Esto también nos ahorra tiempo al momento de implementar los circuitos, ya que tenemos que utilizar menos compuertas y/o menos cableado.

También podemos encontrar expresiones que son equivalentes, y que en caso de tener dudas, podemos comprobar con la tabla de verdad.

Desarrollo teórico:

Utilizando las reglas básicas y los teoremas de De Morgan que se presentan a continuación, simplificamos cada una de las expresiones para que al momento de implementar el circuito, se reduzca el tiempo y el espacio.

Reglas básicas

a + b = b + a

a • b = b • a

a + 0 = a

a • 1 = a

a(b+c) = ab + ac

a + a = 1 a • a = 0

Teoremas de De Morgan

Resultados experimentales

Comprobamos que la simplificación de las fórmulas puede hacerse por diversos caminos, pues las reglas las aplica cada quien dependiendo de la facilidad con la que las entienda, pero finalmente el resultado debe ser el mismo. Una ecuación que define un circuito único aunque se haya llegado por caminos distintos.

Igualmente para la implementación se tiene que es de acuerdo a la persona y a su comodidad, para nosotros fue más fácil acomodar las ecuaciones de manera que se usaran compuertas de solo 2 entradas en todos los casos.

La comprobación resulto un poco más compleja debido a que se usaban más entradas en cada circuito así que la tabla de verdad de cada uno se agrando.

Conclusiones

Lorena: Para el segundo circuito del último ejercicio creo que es donde más notoria fue la ventaja de la simplificación mediante el álgebra, se redujo mucho el cableado y el número de compuertas que teníamos que usar. Además de que es algo relativamente sencillo si se siguen correctamente las reglas establecidas y se usan los teoremas de De Morgan. Creo que esto es un paso básico al momento de armar nuestros circuitos porque nos ahorran bastante tiempo y los vuelven más manejables.

Alvaro: Es interesante saber que la simplificación de las expresiones puede ayudar que la construcción de los circuitos sea menos engorrosa, aunque, también depende en gran medida de las compuertas lógicas, es decir, no es lo mismo usar una compuerta que tenga dos entradas y otra que tenga tres, por ejemplo: si tenemos la expresión xyz una compuerta que permita tres entradas es mas útil que la que tiene dos. La de dos entredas nos obligará buscar otra pareja de entradas para poder construir este circuito.

De hecho, en tres circuitos se presentan estas situaciones.

Por otro lado, la reducción de expresiones nos muestra las diferentes formas en las que se presenta una expresión, como es el caso del circuito dos del segundo ejercicio. Después de la reducción lo único relevante fue que el operador xor se sustituyó por un or, una ventaja ya que quedó con las operaciones más básicas.

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