Ecuaciones Cuadráticas

Unidad 3. Actividad 3.

1.-Detemrine dos números cuya suma sea 15 y la suma de sus cuadrados sea 137.

x+y=15

x^2+y^2=137

Despejando x de la primera ecuación:

x=15-y

Sustituyendo en la segunda ecuación:

(15-y)^2+y^2=137

225-30y+y^2+y^2-137=0

〖2y〗^2-30y+88=0

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(-30)±√((-30)^2-4(2)(88) ))/2(2)

x=(30±√(900-704))/4

x=(30±√196)/4

x=(30±14)/4

x_1=(30+14)/4=44/4=11

x_2=(30-14)/4=16/4=4

Los números buscados son: 11 y 4.

2.-Determine dos enteros impares consecutivos cuyo producto sea 143.

(x)(x+2)=143

x^2+2x-143=0

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-2±√(2^2-4(1)(-143) ))/2(1)

x=(-2±√(4+572))/2

x=(-2±√576)/2

x_1=(-2±24)/2

x_1=(-2+24)/2=22/2=11

x_2=(-2-24)/2=(-26)/2=-13

El segundo valor no puede ser negativo, por lo tanto, sustituyendo x1 en la primera ecuación, tenemos:

(11)(11+2)=143

(11)(13)=143

143=143

Entonces los números buscados son 11 y 13.

3.-Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea 132.

(x)(x+1)=132

x^2+x-132=0

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-1±√(1^2-4(1)(-132) ))/2(1)

x=(-1±√(1+528))/2

x=(-1±√529)/2

x=(-1±23)/2

x_1=(-1+23)/2=22/2=11

x_2=(-1-23)/2=(-24)/2=-12

Dado que x2 no puede ser negativo, los números buscados son 11 y 12:

(11)(11+1)=132

(11)(12)=132

132=132

4.-Encuentre dos enteros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 100.

x^2+(x+2)^2=100

x^2+x^2+4x+4-100=0

〖2x〗^2+4x+4-100=0

〖2x〗^2+4x-96=0

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-4±√(4^2-4(2)(-96) ))/2(2)

x=(-4±√(16+768))/4

x=(-4±√784)/4

x=(-4±28)/4

x_1=(-4+28)/4=24/4=6

x_2=(-4-28)/4=(-32)/4=-8

El valor de x2 no puede ser negativo, por lo tanto:

6^2+(6+2)^2=100

36+8^2=100

36+64=100

100=100

Entonces los números buscados son 6 y 8.

5.-La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángulo, si su suma es 17 centímetros.

a+b=17

a^2+b^2=169

Explicación:

Hipotenusa=13

〖Hipotenusa〗^2= a^2+ b^2

Despejando “a” de la primera ecuación:

a=17-b

Sustituyendo en la segunda ecuación:

(17-b)^2+b^2=169

b^2+b^2-34b+289-169=0

〖2b〗^2-34b+120=0

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(34±√(-34^2-4(2)(120) ))/2(2)

x=(34±√(1156-960))/4

x=(34±√196)/4

x=(34±14)/4

x_1=(34+14)/4=48/4=12

x_1=(34-14)/4=20/4=5

Comprobando: Comprobando con la hipotenusa:

12+5=17 c=√(a^2+b^2 ) c=√169

〖12〗^2+5^2=169 c=√(〖12〗^2+5^2 ) c=13

144+25=169 c=√(144+25)

Por lo tanto los números buscados son 12 y 5.

6.-El diámetro de un círculo es 8 centímetros. ¿En cuánto debe aumentar el radio para que el área aumente

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