El Calculo

LA INTEGRAL INDEFINIDA

La función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

El conjunto de todas las primitivas de f(x) se llama integral indefinida de f(x). Se representa por:

Por tanto si F(x) es una primitiva de f(x), se tiene que:

= F(x) +k

Donde k se le llama a la constante de integración

El cálculo de primitivas, además de un simple juego de ingenio (a ver si eres capaz de averiguar una función cuya derivada sea….) es un ejercicio de importancia capital por las múltiples aplicaciones que presenta.

Una primitiva de la función en es la función ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + k donde k es una constante conocida como constante de integración.

Teorema: Si dos funciones difieren en una constante, tienen la misma derivada

Teorema reciproco: si dos funciones tienen una misma derivada, su diferencia es una constante.

En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los resultados en que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expresión diferencial dada.

INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a, b] ∈ ℝ, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. se representa por:

Se representa por

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