Ensayo De Matematicas

MATEMATICAS

1. Introducción

2. Concepto de número

3. Los sistemas de numeración

4. Los problemas en la enseñanza y el aprendizaje

5. Hacia una propuesta didáctica

6. Evaluación

7. Bibliografía consultada

La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.

Guy Brousseau

1 Introducción

1.1 Introduciéndonos a la didáctica de las matemáticas

Sin querer entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la existencia o no de las didácticas específicas, la concebimos como una disciplinaen tanto conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su enseñanza. Queremos explicitar algunos supuestos.

Para ello proponemos utilizar el “triángulo didáctico”, en tanto herramienta de análisis. Constituido por 3 vértices: el saber, el docente y el alumno. El lugar que cada uno de ellos ha ocupado en la enseñanza, define 3 tipos generales de concepciones didácticas que han dado lugar a diversos métodos de enseñanza.

Aplicando esta idea a la didáctica específica que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la siguiente caracterización: “a) la didáctica como técnica: en tanto conjunto de técnicas y métodos que sirven para lograr mejores resultados; b) la didáctica empírico–científica: en tanto estudio de la enseñanza como disciplina científica que planifica situaciones y las analiza junto a sus resultados en forma estadística y c) la didáctica sistémica: en tanto ciencia que teoriza la producción y la comunicación del saber matemático en su autonomía de otras ciencias” (Villella, J. 1996).

Vamos a partir de esta tercera concepción de la didáctica de la matemática como ciencia autónoma, originada en Francia con la denominada “escuela francesa de la didáctica de la matemática” del IREM, en los años ’70, cuyos precursores son: Guy Brousseau, Yves Vergnaud y D. Chevallard entre otros.

La definen como ciencia autónoma desde 2 postulados: i- la identificación e interpretación del objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico y ii- este cuerpo debe ser específico del saber matemático y no provenir de la aplicación de teorías desarrolladas en otros dominios (como ser la psicología, la pedagogía u otros).

Explicitado el punto de partida, justificaremos la enseñanza de este cuerpo de conocimientos. Centrándonos en el número y los sistemas de numeración –tema que nos convoca–.

1.2 ¿Por qué enseñar matemática?

En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para su enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad.

Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social[2]. Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático. Ya nadie discute acerca del carácter democratizador y emancipador del conocimiento y dominio de esta ciencia.

1.2.1 ¿Y del número qué?

Dentro de los conocimientos matemáticos, el número fue el primero en desarrollarse en tanto representación directa (o casi) de la realidad material (natural). Por ello parece razonable comenzar por él.

Además fundamentamos la necesidad de la enseñanza del número en tanto concepto estructurante de la propia disciplina y del proceso de apropiación de saberes matemáticos en el niño.

Queremos recalcar que en tanto producto cultural, de uso social extendido, desde muy temprano los niños y niñas se ven inmersos en ellos, ya sea escuchando cantidades, precios, etc., por lo cual se hace imprescindible comenzar con su enseñanza desde los niveles iniciales (preescolares) proyectándola a lo largo de toda la escolarización. Esta noción se corresponde con la visión sistémica y procesual que postula la escuela francesa y nosotros planteamos como una imperiosa necesidad [3].

Por lo tanto proyectar la enseñanza comenzando por el campo de los naturales, ya que es el de más fácil conceptualización, requiere no desconocer ni ocultar la existencia de otros campos numéricos dado que las niñas y niños “conocen” números no naturales, evitando así la instalación de obstáculos epistemológicos derivados de tal parcialización.

Desde esta lógica comenzamos a introducirnos en la conceptualización del número por los naturales, avanzando hacia los otros campos numéricos.

2 Concepto de número

2.1 Hacia una definición de número

Es preciso aclarar que no existe una definición única ni acabada. Si buscamos por ejemplo en un diccionario veremos que se hayan diferentes acepciones que a su vez se refieren a distintos atributos y aspectos. Igualmente intentaremos construir el concepto. Partiremos de la historia, de la construcción humana del número, luego definiremos diferentes contextos en que el número adquiere significado,

2.1.1 El número en la historia

Siguiendo a Engels, puede considerarse al desarrollo del conocimiento como un proceso de apropiación de la naturaleza[4]. La realidad natural se transforma en una realidad humanizada en función de las distintas necesidades del Hombre y en esa transformación se genera conocimiento. Es preciso que exista un primer “reconocimiento” del objeto natural para luego insertarlo en la lógica de la actividad humana. Su consecuencia es una divergencia cada vez mayor entre el procesamiento del conocimiento cotidiano y las sucesivas elaboraciones conceptuales que se traduce en abstracciones cada vez más complejas. Estos procesos no suelen producirse en secuencia lineal porque están fuertemente condicionados por inevitables dinámicas históricas y sociales propias de cada pueblo, de cada sociedad.

Existen distintas teorías acerca de cómo el Hombregeneró y utilizó el número. Describiremos este proceso a través de etapas: 1- distinción de uno y muchos; 2- necesidad de recuento de pertenencias, que implica establecer una correspondencia uno a uno, entre éstas y un conjunto de igual cantidad de elementos, cuyo representante es el número cardinal correspondiente; 3- la necesidad de registro, creándose así rótulos y etiquetas que posibilitan organizar las muestras de acuerdo al número de elementos, apareciendo así el aspecto ordinal; 4- surgimiento de los sistemas de numeración como herramienta para organizar aquellos rótulos que permitieran otros usos del número y 5- acción del conteo, uso de la secuencia ordenada de palabras número en correspondencia uno a uno de los elementos, donde el último de los elementos nombra la clase a la cual pertenece (Villella, J., 1996).

2.1.2 Contextos de significación

Nos basamos en la distinción de diversas funciones del número como un elemento para conceptualizarlo.

Existen varias clasificaciones que no difieren en lo esencial, Brissiaud distingue dos funciones principales: representar (para comunicar cantidades o retenerlas en la memoria); y calcular (establecer una cierta relación entre cantidades).

2.1.2.1 Cuantificar y representar (comunicar cantidades y retenerlas en la memoria)

Diferenciamos dos formas de representar cantidades, las colecciones de muestra y las representaciones numéricas.

Si bien ambas utilizan el criterio de correspondencia uno a uno, esta relación se establece de diferente manera.

La primera se refiere a la construcción de una colección de muestra para establecer dicha correspondencia que represente la cantidad de elementos. Por ejemplo para representar los platos puestos en una mesa se utilizan tantas piedritas como platos.

La segunda representa la cantidad con el último elemento puesto en correspondencia uno a uno. (Nótese que la diferencia radica en que con las colecciones, la cantidad se representa con todos los elementos, mientras en la segunda sólo con el último).

El segundo tipo de correspondencia puede realizarse a través de “palabras–número” (enunciación oral de la cantidad) o cifras (signo gráfico) (Brissiaud, 1993)[5], requiriéndose para ello un sistema arbitrario de signos convencional y socialmente establecido (histórico).

Aquí aparece una primera dificultad en el proceso de conceptualización del número, distinguir palabras–número y cifras, del número en sí en tanto representación arbitraria y social de una cantidad. Por ejemplo, el número 18 está formado por dos cifras (‘1’ y ‘8’) y se enuncia con dos palabras–número pero se trata de un solo número.

Antes escribíamos sobre las formas de representación de las cantidades, ahora nos referiremos al proceso de cuantificación.

Si bien vulgarmente se utilizan indistintamente los términos contar y cuantificar, debemos hacer una distinción. Cuantificar es asignarle una medida (cantidad) a una magnitud (extensión), o sea, atribuirle valora la extensión de una colección, determinar la cantidad de elementos que tiene.

Se puede cuantificar de manera directa o indirecta. Es decir, existen dos formas de cuantificar.

Directamente mediante percepción global

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