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Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse como emplear el cálculo para estudiar curvas plana. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas.

x=24 √2t

y= -16t^2+24 √2t

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

x =F (z)

y =F (z)

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos

Como se ilustra en la figura 10.29 se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45º. Pero ¿Cómo puede encontrarse el ángulo θ que representa la dirección del objeto en algún otro instante de t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t.

TEOREMA 10.7 Forma paramétrica de la derivada.

Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x=(t)y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x, y) es:

dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt) ,dx/dt ≠0.

45o 8

CIRCUNFERENCIA

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:

x=a cos⁡θ

y=a sinθ

CICLOIDE

Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

x=OP=OT-MN=rθ-sinθ;

y=PM=TC-NC=r-rcosθ;

De donde:

x=r(θ-rsinθ);

y=r(1-cosθ);

Que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

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HIPOCICLOIDE

Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia.

En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb.

x=OP=OQ+NM=OO"cosθ+O"Mcosφ (1)

y=PM=QO"-NO\""= OO"senθ - O"Msenφ (2)

Sustitúyanse φ por este valor, OO” por a-b, O”M por b, en (1) y (2); se obtiene:

x=(a-b)cosθ+bcos (a-b)/b θ;

y=(a-b)senθ-bsen (a-b)/b θ;

Que son las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide.

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ASTROIDE

Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

En el caso particular de b= (1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:

x=a〖cos〗^3 θ

y=a〖sen〗^3 θ

Que son las ecuaciones paramétricas del astroide.

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

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