La suma de tres números positivos es 30. El primero más el doble del segundo, mas el triple del tercero suman 60. Elegir los números de modo que el producto de los tres sea el mayor posible.

Tema: Optimización

1. La suma de tres números positivos es 30. El primero más el doble del segundo, mas el triple del tercero suman 60. Elegir los números de modo que el producto de los tres sea el mayor posible.

Como no nos dicen cuáles son esos tres números necesitamos buscar su valor, por lo tanto son variables y las nombraremos como: “x”, “y” y “z”. Ahora para poder optimizar cualquier ecuación necesitamos que la ecuación tenga una sola variable y no tres como en este caso por lo que vamos a construir ecuaciones del texto que nos dan al inicio.

Nos dicen que la suma de los tres números es igual a 30, por lo tanto:

[pic 1]

Y también que la suma del primer numero, el doble del segundo y el triple del tercero nos da 60, por lo tanto:

[pic 2]

Ahora, teniendo estas dos ecuaciones vamos a despejar las variables para que solamente nos quede la variable “x”.

De la (ec. 1) despejamos a “z”:

[pic 3]

Ahora con este valor de z sustituímos en la (ec. 2) para despejar “y”

[pic 4]

por lo tanto:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Una vez teniendo el valor de “y” lo sustituímos en la (ec. 3)para eliminar la variable “y” de dicha ecuación.

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Por lo tanto ya tenemos los valores de “y” y de “z” en función de “x” para poder optimizarla.

Por ultimo, la función a maximizar es:

[pic 15]

Y sustituyendo los valores en función de “x” tenemos que:

[pic 16]

Entonces:

[pic 17]

[pic 18]

Una vez teniendo la ecuación con una sola variable procedemos a hallar sus puntos críticos igualando a cero la primer derivada:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Ahora tenemos estos dos valores críticos en “x”    [pic 26]

Ahora para poder elegir entre los dos ocupamos el deseado, y en este caso lo que queremos hacer es maximizar el producto, por lo tanto este valor deberá de ser un máximo asi que calculamos la segunda derivada, yevaluamos en cada uno de estos puntos para saber si el resultado nos da menor a cero, si nos dá menor a cero evaluado en la segunda derivada quiere decir que en este punto la concavidad de la gráfica es hacia abajo, por lo tanto éste punto crítico estará en la parte mas alta que es lo que llamamos un máximo.

Calculamos la segunda derivada,

[pic 27]

Evaluamos con los puntos críticos:

  -> 60[pic 28]

[pic 29]

Como evaluando en “x=10” nos dá un numero negativo sabemos que la concavidad es hacia abajo y por lo tanto éste valor es un máximo; asi que tomamos este valor para “x”.

Lo que queda por hacer es encontrar los otros dos números que son “y” y “z”. Asi que sustituímos en una ecuación anterior en donde sólo tengamos a “x” como ingógnita para éstas variables.

Tenemos:

[pic 30]

[pic 31]

Asi que sustituímos el valor de “x” en estas dos ecuaciones:

[pic 32]

[pic 33]

Finalmente comprobamos los resultados obtenidos:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Comprobado.

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Comprobado.

Asi que es correcto, los valores de las variables son respectivamente:

[pic 41]

...