Lenguajes formales de primer orden

1.1 Introducci´on a los lenguajes formales

Ante la posibilidad de que el lector —aun si tiene conocimientos matem´aticos—

no est´e familiarizado con los conceptos b´asicos que hemos de manejar,

vamos a introducirlos aqu´ı de forma poco rigurosa pero m´as did´actica que en la

exposici´on definitiva que tendr´a lugar despu´es. Esta secci´on no tiene, pues, m´as

objeto que la de familiarizar al lector con las ideas b´asicas que vamos a manejar.

Nada de lo dicho aqu´ı ser´a usado luego. Quien descubra contradicciones entre

algo dicho aqu´ı y algo dicho m´as adelante, que se quede, por supuesto, con lo

dicho luego y que piense si no ha sido mejor tener primero una idea equivocada

pero clara y despu´es correcta y clara que no tener siempre una idea correcta e

ininteligible.

Por razones que ser´ıa dif´ıcil justificar ahora, resulta conveniente construir

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18 Cap´ıtulo 1. Lenguajes formales de primer orden

lenguajes para hablar no s´olo de lo que ocupa a los matem´aticos, sino de cualquier

cosa. Construyamos por ejemplo un lenguaje para hablar de todas las

personas que habitan la Tierra.

• En primer lugar ser´a conveniente tener nombres para algunas de estas

personas. Por ejemplo “p” puede nombrar a Pedro, “j” puede nombrar a

Juan, “a” a Ana y “m” a Mar´ıa. A estos signos que usaremos para nombrar

los objetos de los que queremos hablar los llamaremos constantes. As´ı,

“p”, “j”, “a” y “m” son constantes de nuestro lenguaje. Vali´endonos del

hecho de que sobre la Tierra hay un n´umero finito de personas, podr´ıamos

tomar una constante para nombrar a cada una de ellas, pero no es obligatorio

hacerlo, podemos, si queremos, quedarnos con estas ´unicas cuatro

constantes.

Los matem´aticos usan constantes como “0”, “1”, “2”, “N”, “R”, “π” entre

otras muchas.

• Podemos ahora tomar signos que expresen hechos, equivalentes a los verbos

en las lenguas naturales. Los llamaremos relatores. Un relator podr´ıa

ser “H”, que signifique “ser un hombre”, de manera que “Hp” significa

“Pedro es un hombre”. Pongamos que “A” significa “ser amigos”, de

manera que “Apm” significa “Pedro y Mar´ıa son amigos”.

Diremos que “H” es un relator mon´adico o de rango 1, mientras que “A”

es un relator di´adico o de rango 2. El rango de un relator es el n´umero

de complementos que necesita para tener sentido. Por supuesto podemos

tomar cuantos relatores queramos de cualquier rango no nulo.

Por conveniencia no vamos a admitir relatores de rango variable. Uno

podr´ıa pensar que “A” puede usarse con cualquier n´umero de complementos

de manera que “Apm” significa “Pedro y Mar´ıa son amigos”, “Apma”

significa “Pedro, Mar´ıa y Ana son amigos”, etc. No aceptaremos esto,

sino que cada relator tendr´a un rango fijo y as´ı, si decidimos que “A” es

di´adico, convendremos en que “Apma” no tiene sentido. La raz´on es que

esto nos evitar´a complicaciones t´ecnicas y, de todos modos, nuestro lenguaje

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