Leyes De Newton

7. Leyes de Newton

1. Un bloque de 10 kg que está en un plano sin rozamiento e inclinado 300 con respecto a la horizontal, es sostenido mediante una cuerda, como se muestra en la figura. Determine la tensión de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano inclinado).

Primero: Se identifican todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

T tensión de la cuerda

w peso del cuerpo

N normal

Segundo: Se realiza el diagrama de cuerpo libre o aislado, donde se colocan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio (bloque).

Tercero: Elegir un sistema de referencia (de preferencia un eje perpendicular y otro paralelo al plano). Considerar el eje x positivo en la dirección (o posible dirección) de movimiento del cuerpo.

Cuarto: Se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares.

Quinto: Se descomponen todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. Debido al sistema de referencia elegido, la normal N y la tensión T, están sobre los ejes. La única fuerza que se descompone en este problema, es el peso. Sus componentes rectangulares son:

De esta forma, las fuerzas o componentes de fuerzas que se encuentran sobre le eje de las x's son: la componente del peso wx y la tensión de la cuerda T, las cuales se sustituyen por la  Fx

Quedando:

Obsérvese que wx es positivo y que T es negativo, ya que apuntan en tales direcciones.

Sustituyendo el valor de wx

En este caso, el cuerpo está en reposo, por lo que no hay cambios de velocidad, ó lo que es lo mismo, no existe aceleración (ax = 0 ). Sustituyendo:

Resolviendo para la tensión:

Sustituyendo los valores:

La fuerza normal se determina a partir de la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's.

Considerando también que no hay movimiento en el eje vertical ay = 0

Despejando a la normal y sustituyendo la componente vertical del peso:

Sustituyendo los valores

2. Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque cuando ésta se desliza sobre el plano inclinado.

Al desaparecer la tensión de la cuerda, el bloque inicia su movimiento, a medida que transcurre el tiempo, su velocidad va incrementándose (no hay rozamiento), existiendo en consecuencia una aceleración.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son la Normal y el Peso. Si sumáramos las dos fuerzas, encontraríamos una fuerza Neta o Resultante que estará sobre el eje de las x's y que es la que hace que el cuerpo se acelere hacia abajo sobre el plano.

Analizando el problema con mayor detenimiento, podemos descomponer al peso en sus componentes rectangulares, y como el cuerpo no se mueve sobre el eje de las y's, deducimos que la fuerza Normal es de igual magnitud que la componente del Peso sobre dicho eje, quedándonos únicamente la componente en el eje x, siendo ésta de magnitud: mg sen .

Para determinar la aceleración resolvamos analíticamente, aplicando la segunda ley de Newton.

3. De las siguientes figuras encuentre la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.

Si analizamos las figuras antes de resolver el problema analíticamente, observaremos que existe una gran similitud entre ellos, lo único que está cambiando son los ángulos. Con esta observación podemos resolver un solo problema (el que parece más complicado: Fig. 3) y a partir del análisis del resultado, podemos inferir los otros. Procedamos a ello.

Se deben de hacer tantos diagramas de cuerpo libre, como cuerpos en estudio tengamos.

Descomponer todas las fuerzas en sus componentes rectangulares y aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los diagramas de cuerpo libre. Cuando no existe rozamiento, no es necesario trabajar con la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's, a menos que se pida la magnitud de la fuerza Normal o la componente del peso en ese eje.

Haciendo suma de fuerzas en el eje de las x's

Como es la misma cuerda y mientras no se estire ni se afloje, la tensión en cualquier punto es la misma por lo que:

T1 = T2

Consecuentemente, mientras un cuerpo desliza hacia arriba, el otro desliza hacia abajo, experimentando ambos los mismos cambios de velocidad, es decir, que tienen la misma aceleración:

a1x = a2x

Con esto, las dos ecuaciones anteriores se convierten en:

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( T y a ), que se resuelve por medio de los métodos conocidos ( suma y resta; sustitución; igualación o determinantes).

Usando el método de sustitución:

Despejamos T de la primera ecuación:

y la sustituimos en la segunda:

Resolviendo:

Para calcular la tensión, únicamente sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones lineales.

Analizando el resultado de la aceleración, podemos tener los siguientes casos:

{ Si: 00  y  = 900 ; sen  y sen  = 1

Correspondiendo dichos ángulos al primer caso, es decir, a la figura 1.

Por lo tanto, la aceleración de los bloques para esa figura es:

Para la Figura 2 tenemos que:

{ 300  y  = 900 ; sen  = 1

Para la Figura 4 tenemos que:

{ 900  y  = 900 ; sen  sen  = 1

Los resultados obtenidos para la aceleración también pueden ser analizados, así por ejemplo, en el último caso (Fig. 4):

v Si m2 > m1

tenemos que la aceleración de los cuerpos es positiva ( a > 0 ) y los cuerpos se mueven de la siguiente forma:

m1 hacia arriba

m2 hacia abajo

v Si m2 < m1

tenemos que la aceleración de los cuerpos es negativa ( a < 0 ) y los cuerpos se mueven de la siguiente forma:

m1 hacia abajo

m2 hacia arriba

v Si m2 = m1

tenemos que la aceleración de los cuerpos es nula ( a = 0 ) y los cuerpos permanecen en reposo.

v Si cualquiera de los cuerpos es mucho mayor ( >>> ) que el otro, por ejemplo m2 >>> m1, entonces:

y

y la aceleración es positiva e igual al valor de la magnitud de la gravedad ( g ).

v En el otro caso, cuando:

m2 <<< m1, entonces:

tenemos que:

y

y la aceleración es negativa e igual al valor de la magnitud de la gravedad.

Ahora resolveremos la figura 4, también conocida como máquina de Atwood, con el fin de verificar que nuestros resultados deductivos a partir de la figura 3 son correctos, pudiendo hacerse también para las otras dos figuras.

Nota: Obsérvese que los ejes positivos fueron tomados en la dirección de movimiento propuesta.

Aplicando la segunda ley de Newton en el eje vertical a ambos diagramas:

donde a1y = a2y = a

obteniendo dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

y

Resolviendo por suma y resta:

factorizando:

despejando:

que es el mismo resultado obtenido a partir de la deducción del resultado de la tercer figura

4. Dos bloques de masa m1 = 3 kg y m2 = 4 kg están tocándose sobre una mesa sin fricción. Si la fuerza mostrada que actúa sobre m1 es de 5 Nt.

a) ¿Cuál será la aceleración de los dos bloques?

b) ¿Con qué fuerza empuja m1 a m2?

c) Repita los incisos anteriores, si la fuerza se aplica a m2.

a) Para determinar la aceleración de los bloques, consideremos a los dos como uno solo de masa m1 + m2 = 7 kg.

El diagrama de cuerpo libre es:

De la suma de fuerzas en el eje x:

donde: M = m1 + m2

b) Para determinar la fuerza con que empuja m1 a m2 aplicamos la tercera ley de Newton que dice que la fuerza que ejerce m1 sobre m2 es de igual magnitud, pero en sentido contrario a la que ejerce m2 sobre m1. Para ello analicemos las fuerzas que actúan sobre m1 mediante el siguiente diagrama de fuerzas.

La segunda ley se aplica sobre el cuerpo en estudio (m1 ) y la aceleración que este cuerpo experimenta es la que encontramos en el inciso anterior ( a1x = a = 0.71 m/s2 ).

Luego entonces, por la tercera ley la fuerza con que empuja m1 a m2 es P' = 2.85 Nt.

c) Si la fuerza se aplica sobre m2, tendremos la misma aceleración, aunque los cuerpos se moverán hacia la izquierda.

Para determinar la fuerza con que empuja m1 a m2 se realizan los mismos pasos, pero la suma de fuerzas es ahora sobre m2.

5. Un automóvil de 900 kg que va a 20 m/s choca con un árbol y recorre 1.6 m antes de detenerse.

¿Qué magnitud tendrá la fuerza de retardo ejercida por el árbol sobre él?

Donde ax se determina mediante cinemática. Las condiciones son:

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