MATEMATICA

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Propiedades de la Intersección

a) Idempotencia:

b) Asociatividad:

Utilizando la definición de intersección y la asociatividad de la conjunción, se tiene:

c) Conmutatividad:

d) Elemento Neutro para la Intersección: Conjunto Universal.

La intersección opera sobre subconjuntos del universo. Interesa determinar si existe un subconjunto de U cuya intersección con cualquier otro no lo altera, tal elemento se llama neutro para la intersección y es el mismo U:

Cualquiera que sea

2. Propiedades de la Unión

a) Idempotencia:

Por definición de unión, y la ley lógica:

b) Asociatividad:

c) Conmutatividad:

d) Elemento neutro para la unión. Conjunto vacío

3. Leyes Distributivas

La unión e intersección de conjuntos pueden conectarse a través de dos propiedades fundamentales, llamadas leyes distributivas:

a) Distribuidas de la intersección con respecto de la unión.

Por definiciones de intersección, de unión y distributiva de la conjunción respecto de la disyunción.

b) Distributividad de la Unión con respecto de la intersección

Por definiciones de unión, intersección, de unión y distributividad de la disyunción respecto de la conjunción.

4. Propiedades del Complementación de Conjuntos

a) Involución :

Por definición de complemento y ley involutiva del Algebra proposicional

b)

Por definición de complemento e inclusión.

5. Leyes de Morgan

Estas leyes permiten, relacionar la complementación con la unión e intersección.

a) El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos.

Por definición de complemento, unión, negación de una disyunción lógica y definición de intersección.

b) El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.

Por definición de complemento, de intersección, negación de una conjunción lógica y definición de unión.

6. Propiedades de la Diferencia de Conjuntos.

a) La diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo.

b) ; es decir la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

7. Propiedades de la Diferencia Simétrica

a) Conmutativa:

b) Existencia de Neutro:

c) Existencia de inversos:

Todo conjunto admite al mismo conjunto A como inverso respecto de la diferencia simétrica.

d) Asociatividad:

Por diferencia simétrica, leyes de Morgan, distributividad de a intersección respecto de la unión, conmutatividad.

De (1) y (2) se obtiene:

Leyes del Algebra de Conjuntos

Leyes de Idempotencia

1a)

Leyes Asociativas

2a)

2b)

Leyes Conmutativas

3a) 3b)

Leyes Distributivas

4a)

4b)

Leyes de Identidad

5a) 5b)

6a) 6b)

Leyes de Complemento

7a) 7b)

8a) 8b)

Leyes de De Morgan

9a) 9b)

...