Mteriales
Enviado por Chris'topher C'arrasco J'imenez • 3 de Septiembre de 2015 • Trabajos • 3.039 Palabras (13 Páginas) • 106 Visitas
INTRODUCCION
El presente trabajo está enfocado en las aplicaciones del álgebra lineal, como sabemos el álgebra lineal tiene muchas aplicaciones a distintas áreas tales como la física, economía, etc.
Pero también tiene muchas aplicaciones que hoy en día son el motivo de la revolución de nuestra tecnología, podríamos decir que el álgebra lineal es una de las bases para poder desarrollar tecnología ya que tiene un estudio muy formal y ordenado esto ayuda a organizar muchos datos y a poder operarlos con mayor facilidad.
El álgebra lineal está revolucionando en muchos campos como: Teoría de los grafos, Teoría de los juegos, Cadenas de marcov, Programación lineal, etc.
En el desarrollo del trabajo se ha tenido en cuenta un pequeño ejemplo de su aplicación a la economía, aplicación a la teoría de los grafos y aplicación a la reducción de ecuaciones.
Se trata de abarcar todos los temas que se desarrollan en el curso pero el lector se dará cuenta que la mayor parte de este trabajo se desarrolla con la teoría de matrices y solución de sistema de ecuaciones lineales.
APLICACIÓN A LA ECONOMIA: En esta parte la meta es aprender a identificar y construir la matriz de LEONTIEF.
APLICACIÓN A LA TEORIA DE LOS GRAFOS: busca enseñar al lector como organizar matricialmente gráficos de rutas, redes, etc. Y poder identificar un camino más corto.
APLICACIÓN A LA REDUCCION DE ECUACIONES: En esta última parte el lector aprenderá a reducir ecuaciones a formas de ecuaciones ya conocidas como, ecuaciones de las curvas conocidas (circunferencia, parábola, hipérbola, elipse), atreves de los conocimientos del algebra lineal.
OBJETIVOS
- Enseñar al lector a conocer más sobre el álgebra lineal.
- Incentivar a los lectores a usar el álgebra lineal en sus distintos campos.
- Dar solución a un tipo de problemas en la economía.
- Conocer la gran ayuda que nos da el álgebra lineal en la solución de redes y optimización de rutas, caminos, etc.
- Encontrar como reducir ecuaciones de diferente manera a como lo hace la geometría analítica.
1. MODELO DE INSUMO - PRODUCTO DE LEONTIEF
Sea la siguiente tabla de transacciones intersectoriales. Determine los incrementos de producción bruta sectorial necesarios para satisfacer un incremento del 20% en la demanda final del sector agrícola, del 30% en el sector industrial y del 10% en el sector de servicios.
COMPRAS(j) VENTAS(i) | DEMANDA INTERMEDIA | DEMANDA FINAL | PRODUCCION BRUTA | ||
A I S | |||||
A | 600 | 400 | 1400 | 600 | 3000 |
I | 1500 | 800 | 700 | 1000 | 4000 |
S | 900 | 2800 | 700 | 2600 | 7000 |
PASO 1: determinar los coeficientes técnicos.
Para ello relacionamos el sector vendedor (i) con el sector comprador (j) con la producción bruta Xj del sector comprador, por medio de la ecuación:[pic 2][pic 3]
Las compras que el sector comprador(j) efectúa al sector vendedor(i) es igual al producto del coeficiente técnico aij por la producción bruta Xj. |
[pic 4][pic 5]
NOTA: los valores aij son constantes durante un cierto periodo de tiempo.
a11 = 600/3000 = 0.2 | a12 = 400/4000 = 0.1 | a13 = 1400/7000 = 0.2 |
a21 = 1500/3000 = 0.3 | a22 = 800/4000 = 0.2 | a23 = 700/7000 = 0.1 |
A31 = 900/3000 = 0.3 | a32 = 2800/4000 = 0.7 | a33 = 700/7000 = 0.1 |
Por lo tanto, la matriz de coeficientes técnicos es: [pic 6]
Donde: - X1, X2, X3 son los valores de la columna de PRODUCCION BRUTA. -Y1, Y2, Y3 son los valores de la columna de DEMANDA FINAL. -Xij son los valores de las columnas A, I, S. |
PASO 2: sabemos que:
X1 = X11 + X12 + X13 + Y1
X2 = X21 + X22 + X23 + Y2
X3 = X31 + X32 + X33 + Y3
Reemplazando la ecuación del paso 1 tenemos:
X1 = a11X1 + a12X2 + a13X3 + Y1
X2 = a21X1 + a22X2 + a23X3 + Y2
X3 = a31X1 + a32X2 + a33X3 + Y3
Matricialmente el sistema se puede escribir del siguiente modo:
Es decir X = AX + Y …………… (*)[pic 7]
(I – A )-1 (I – A)X = (I – A)-1Y IX = (I – A)-1Y |
De (*) despejamos X.[pic 8]
X – AX = Y IX –AX = Y (I – A)X =Y |
MULTIPLICAMOS POR: (I – A)-1
...