Método De Potencias

MÉTODO DE LAS POTENCIAS

• Potencia Directa

 Para el valor característico de mayor valor absoluto y un vector característico asociado dicho mayor valor

A partir de la ecuación:

(1)

Expresada como ecuación de recurrencia se aplica el siguiente procedimiento

1. Se selecciona un vector compatible con A, diferente de cero y normalizado

2. Se obtiene el vector como:

3. De los elementos de se selecciona aquél de mayor valor absoluto, el cual será la primera aproximación al lambda buscado, 1.

4. Se normaliza el vector dividiendo cada uno de sus elementos entre el valor 1, con el signo que éste tenga; obteniendo:

5. Se repiten los pasos 2 a 4 hasta que :

6. El último valor calculado será el mayor; y el último vector normalizado con dicho lambda será un vector característico asociado al mayor.

• Potencia Inversa

 Para el valor característico de menor valor absoluto y un vector característico asociado dicho menor valor

A partir de la ecuación:

(1)

Premultiplicando por la inversa de A

(2)

Al emplear la ecuación (2) la convergencia es hacia inverso del menor valor característico es decir, a *=(/menor)

Expresada como ecuación de recurrencia se aplica el siguiente procedimiento

1. Se selecciona un vector compatible con A, diferente de cero y normalizado, puede ser el mismo utilizado para el mayor valor.

2. Se obtiene el vector como:

3. De los elementos de se selecciona aquél de mayor valor absoluto, el cual será la primera aproximación al inverso del lambda buscado, ; dicho valor será el factor de normalización.

4. Se normaliza el vector dividiendo cada uno de sus elementos entre el valor 1, con el signo que éste tenga; obteniendo:

5. Se repiten los pasos 2 a 4 hasta que :

6.- El último valor calculado será el inverso del menor; es decir ; y el último vector normalizado con el factor de normalización será un vector característico asociado al menor.

Método de Jacobi

AX=b…..1

A=D+R…..2

D =Matriz diagonal elementos aij i=j de A

R= Matriz con ceros en diagonal principal elementos restantes, los de A

2 en 1

(D+R)X=b….(3)

DX=b-RX

X=D-1(b-RX)

X(k+1)=D-1(b-RX(k))…(4)

k=0,1,2,…..

La ecuación matricial (4) indica que del sistema de ecuaciones lineales se despeja x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2 y así sucesivamente hasta despejar xn de la ecuación n

El vector inicial puede ser un vector de puros ceros:

; con lo cual

• Criterio de convergencia de los métodos por aproximaciones sucesivas

Si existe |aRC| > y además R=C el método será convergente, en caso contrario no decide.

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