Ejercicio ecuación diferencial mediante el método de potencias.
Enviado por paulmendozaanaya • 18 de Julio de 2016 • Prácticas o problemas • 507 Palabras (3 Páginas) • 135 Visitas
Solución de una ecuación diferencial mediante el método de potencias
Ecuación diferencial de primer orden.
[pic 1]
La solución de la E.D es; [pic 2]
1).- Encontrar los coeficientes de la serie para determinar la solución de la E.D.
2).- Encontrar la derivada de la función para poder sustituir en la E.D por esta serie.
Procedimiento:
Serie centrada en cero;
[pic 3]
Sacamos los primeros términos de la serie:
[pic 4]
[pic 5]
Se puede escribir su primera derivada de la siguiente forma:
[pic 6]
Está expresión lo sustituimos en la E.D.
[pic 7]
Se puede rescribir
Enfasar esta ecuación [pic 8]
La idea es expresar las dos sumatorias en términos de una suma y el procedimiento se conoce como Enfasar.
[pic 9]
[pic 10][pic 11]
[pic 12][pic 13]
[pic 14][pic 15]
Como la X empieza de distinto valor sacaremos los dos primeros términos y ahora las x inician con el mismo exponente.
[pic 16]
Simplificamos en términos de una sola suma
[pic 17]
Ahora determinamos los coeficientes C1, C2, C3, Ck+1 y Ck+2 todos los coeficientes van a tener que depender de un solo coeficiente porque la E.D. es de primer orden. Para poder hallar vamos a tener que generar siempre en este tipo de problemas una fórmula de recurrencia para poder encontrar todos los Ck que a su vez son los Cn.
La fórmula de recurrencia es indiferente pero se acostumbra espejar el mayor en términos del menor
Con esta fórmula de recurrencia vamos a encontrar el resto de C, C1, C2, C3, ……… Cn.
[pic 18][pic 19]
k empieza desde 2 vamos a sustituir hasta un “n” cualquiera que permite encontrar una forma de determinar como todos depende de un solo C.
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La fórmula de recurrencia encontramos que los coeficientes que no son múltiplos de tres su valor es de cero.
Obtenemos:
[pic 38]
[pic 39]
Solución de la E.D. [pic 40]
[pic 41]
C = contante para todos los independientes del n que se tenga
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