Numero De Fermant

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

NOMBRE: AMÁN LILIAN

FECHA: QUITO, 28 DE MARZO DE 2013

NÚMERO DE FERMAT

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número natural de la forma:

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorizacióncompleta de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DE FERMAT

1. Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:

• Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).

• Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:

1. Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo.

2. Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0•F1•...•Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).

3. Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.

4. Todo número compuesto de Fermat se puede descomponer en factores primos de la forma k•2n+2 + 1, con k entero positivo.

5. La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.

OTRA FORMA:

Números primos

Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Ejemplo:

5, 13, 59, ...

El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él.

Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podremos afirmar que el número es primo.

Ejemplo:

Solución: 179 es primo

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista.

Los números que permanecen en la lista son los primos.

Ejemplo:

Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40:

1En primer lugar, escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2Eliminamos los multipos de 2

2 3 5 7 9

11 13 15 17 19

21 23 25 27 29

31 33 35 37 39

3El siguiente número es 3. Como 32 < 40 eliminamos los múltiplos de 3.

2 3 5 7

11 13 15 17 19

23 25 29

31 35 37

4El siguiente número

...