Propiedades De Campo De Los Numeros Reales

SERIE:

MATEMATICAS PARA AUTODIDACTAS

MODULO:

ARITMETICA

AUTOR:

PROF. P. FELIPE LOPEZ COSMES

INDICE

ESTRUCTURAS NUMERICAS

NOTACION MATEMATICA

PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUNMEROS REALES

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NEGATIVOS

ESTRUCTURAS NUMERICAS

Toda Secuencia numérica parte de un origen, en las estructuras numéricas, el inicio son los números naturales, en la siguiente tabla se muestran todas las estructuras numéricas existentes

Tabla 1.

Estructura numérica Nombre Características Ejemplo

N Naturales Contiene solo números positivos 1, 2, 3, … ,12345

Z Enteros Contiene números positivos y negativos -∞, -12345,… 0, 1, 45, 1234568, ...., +∞

Q Racionales Números enteros de la forma a/b con b≠0 y expansión decimal finita

1/2, 2/36, - 1/16

℘ Irracionales Números con expansión decimal infinita 1/3= 0.333333333

π=3.141592653589793238…..

√3=1.7320508075688772….

℮=2.71828182845904…..

R Reales Es la estructura que contiene a todas las estructuras numéricas anteriores Cualquier tipo de numero

C Complejos Existencia de raíces cuadradas negativas i=√(-1)

Gráficamente las estructuras numéricas descritas anteriormente se organizarían como sigue:

Notación matemática

Símbolo Significado

∈ Es elemento de….

∀ Para todo….

∃ Existe….

∄ No existe….

⇒ Entonces …

⟺ Si y solo si….

∴ Por lo tanto….

PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES (R)

PARA LA SUMA

PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO

Cerradura

∀ a y b ∈ R

a+b es única La suma de dos números reales es única y tiene uno y solo un resultado

2+3=5

Conmutativa

∀ a y b ∈ R

a+b=b+a El orden de los sumandos no altera el resultado

15+21=21+15

36=36

Asociativa

∀ a, b y c ∈ R

(a+b)+c = a+(b+c)

Para todos los números reales cualesquiera, sus sumas asociativas son iguales

(3+5)+15=3+(5+15)

8+15=3+20

23=23

Existencia del neutro aditivo

Sea 0 ∈ R tal que

a+0=0+a=a Existe un numero (cero) tal que al sumarlo a cualquier numero real resulta el mismo numero

-25328+0=-25328

Existencia del inverso aditivo

Sea -a ∈ R tal que

a+(-a)=0 Para todo numero real existe su inverso tal que al sumarlos el resultado es cero Sea 235, su inverso es -235 tal que

235+(-235)=0

PARA LA MULTIPLICACION

PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO

Cerradura

∀ a y b ∈ R

a∙b es única El producto de dos números reales es único y tiene uno y solo un resultado

2∙3=6

Conmutativa

∀ a y b ∈ R

a∙b=b∙a El orden de los factores no altera el resultado

15∙21=21∙15

315=315

Asociativa

∀ a, b y c ∈ R

(a∙b) ∙c = a∙ (b∙c)

Para todos los números reales cualesquiera, sus productos asociativos son iguales

(3∙5) ∙15=3∙(5∙15)

15∙15=3∙75

225=225

Existencia del neutro multiplicativo

Sea 1 ∈ R tal que

1(a)=a(1)=a Existe un numero (uno) tal que al multiplicarlo por cualquier numero real resulta el mismo numero

1(25328)=(25328)1

...