Regla De Cramer

Regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Llamemos el determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas.

Y sean:

1, 2 , 3 ... , n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

1

Ejemplo

Teorema de Rouché-Fröbenius

Llamamos matriz ampliada de la matriz de los coeficientes de las incógnitas a la matriz que se obtiene añadiendo a la matriz de los coeficientes la columna correspondiente a los términos independientes. Si designamos por A la matriz de los coeficientes, la ampliada se denotaría como A´ (también se utiliza A y A*).

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y el de la matriz ampliada (r´)sean iguales.

• r = r' Sistema Compatible.

o Si r = r'= n Sistema Compatible Determinado.

o Si ' Sistema Compatible Indeterminado.

• ' Sistema Incompatible.

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

2

r(A) = 3

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

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