Tecnicas De Contar

Técnicas de contar:

Principio fundamental del conteo:

Principio básico: si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1, n2, n3….

Notación factorial:

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplean con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee ‘’n factorial’’):

n!=1*2*3……(n-2)(n-1)n

Permutaciones:

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos. Una ordenación de un numero r de dichos objetos, r <n, en un orden dado se llama una permutación de los n objetos tomados r a la vez. EL número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez lo denotamos por:

P(n,r)

Antes de deducir la formula general P(n,r) consideramos un caso especial.

La deducción de la formula P(n,r) sigue el procedimiento del ejemplo anterior. El primer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras: a continuación, el segundo elemento de la permutación puede escogerse de n 1 maneras: y , sucesivamente el tercer elemento puede escogerse de n 2 maneras. Continuando en esta forma, tenemos que el último elemento de la permutación r puede escogerse de n (r 1) =n r+1 maneras. Así

Teorema 2.1: P(n,r) = n (n-1)(n-2) …(n-r+1)=n!/(n-r)!

La segunda parte de la formula se basa en que

n(n-1)(n-2)… (n-r+1)= n(n-1)(n-2)…(n-r+1).(n-r)!/(n-r)!=n!/(n-r)!

En el caso especial de r=n, tenemos

P(n,n)= n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!

Colario: las permutaciones de n objetos (tomados todos a la vez) son iguales a n!

Permutaciones con repeticiones:

Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son iguales, como se indica a continuación. Usamos la formula general.

Teorema 2.3: el número de permutaciones de n objetos, de los cuales n1 son iguales,n2 son iguales ,…. nr son iguales , es n!/n1!n2!...nr!.

Pruebas ordenadas:

Problemas de estadística se relacionan con la escogencia de una bola tomada de una urna que contiene n bolas. Cuando escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta escogencia como una prueba ordenada del tamaño r. Se consideran dos cosos:

(i) Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras diferentes para escoger cada bola, según el principio fundamental del conteo hay

r veces

n*n*n…n=n

Pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.

(ii) Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de escoger la siguiente. A si no hay repeticiones en la prueba ordenada. O sea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución es simplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente hay

P(n,r)= n(n-1)(n-2)… (n-r+1) =n!/(n-r)!

Pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un grupo de n objetos.

Coeficientes del binomio y teorema

El símbolo (n/r) léase ‘’n(r’’ donde r y n son enteros positivos con r <n , se definen como sigue:

(n/r)= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/1.2.3…(r-1)r

Estos números son llamados coeficientes del binomio en atención al teorema 2.5 expuesto mas adelante.

Lema 2.4: (n/n-r) = (n/r) o , lo que es lo mismo

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