Velocidad y posición por integración

*Velocidad y posición por integración

Esta sección opcional es para estudiantes que ya aprendieron algo de cálculo integral.

En la sección 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilíneo con aceleración

constante. Si ax no es constante, como es común, no podremos aplicar las ecuaciones

que deducimos en esa sección (figura 2.26). Pero aun si ax varía con el tiempo, podemos

usar la relación vx 5 dx>dt para obtener la velocidad vx en función del tiempo si la

posición x es una función conocida de t, y podemos usar ax 5 dvx>dt para obtener

la aceleración ax en función del tiempo si vx es una función conocida de t.

En muchas situaciones, sin embargo, no se conocen la posición ni la velocidad en

función del tiempo, pero sí la aceleración. ¿Cómo obtenemos la posición y la velocidad

a partir de la función de aceleración ax(t)? Este problema surge al volar un avión

de Norteamérica a Europa (figura 2.27). La tripulación del avión debe conocer su posición

precisa en todo momento. Sin embargo, un avión sobre el océano suele estar

fuera del alcance de los radiofaros terrestres y del radar de los controladores de tráfico

aéreo. Para determinar su posición, los aviones cuentan con un sistema de navegación

inercial (INS) que mide la aceleración del avión. Esto se hace de forma análoga

a como sentimos cambios en la velocidad de un automóvil en el que viajamos, aun

con los ojos cerrados. (En el capítulo 4 veremos cómo el cuerpo detecta la aceleración.)

Dada esta información y la posición inicial del avión (digamos, cierto embarcadero

en el Aeropuerto Internacional de Miami) y su velocidad inicial (cero cuando

está estacionado en ese embarcadero), el INS calcula y muestra la velocidad y posición

actuales del avión en todo momento durante el vuelo. (Los aviones también utilizan

el sistema de posición global, o GPS, para la navegación; no obstante, este

sistema complementa el INS, en vez de remplazarlo.) Nuestro objetivo en el resto

de esta sección es mostrar cómo se efectúan estos cálculos en el caso más sencillo de

movimiento rectilíneo, con aceleración variable en el tiempo.

Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.28 es una gráfica de aceleración

contra tiempo para un cuerpo cuya aceleración no es constante. Podemos dividir

el intervalo entre los tiempos tl y t2 en muchos intervalos más pequeños,

llamando Dt a uno representativo. Sea amed-x la aceleración media durante Dt. Por la

ecuación (2.4), el cambio de velocidad Dvx durante Dt es

Gráficamente, Dvx es igual al área de la tira sombreada con altura amed-x y anchura Dt,

es decir, el área bajo la curva entre los lados derecho e izquierdo de Dt. El cambio total

de velocidad en cualquier intervalo (digamos, t1 a t2) es la suma de los cambios

Dvx en los subintervalos pequeños. De esta manera el cambio de velocidad total se

representa gráficamente con el área total bajo la curva ax-t entre las líneas verticales

t1 y t2. (En la sección 2.4 demostramos que esto se cumplía para el caso especial en

que la aceleración es constante.)

En el límite donde los Dt se hacen muy pequeños y muy numerosos, el valor de

amed-x para el intervalo de cualquier t a t1Dt se acerca a la aceleración instantánea ax

en el instante t. En este límite, el área bajo la curva ax-t es la integral de ax (que en

general es una función de t) de t1 a t2. Si v1x es la velocidad del cuerpo en t1 y v2x es

la velocidad en t2, entonces,

(2.15)

El cambio en vx es la integral de la aceleración ax con respecto al tiempo.

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