Estadística descriptiva
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Estadística descriptiva
Tabla de Frecuencias
La tabla de frecuencias se puede entender como aquella tabla que permite visualizar la distribución de elementos por cada categoría o clase de la variable, ya sea variable categórica o variable numérica transformada en categórica. La tabla de frecuencias está conformada por cuatro columnas y cierta cantidad de filas que están determinadas por el número de categorías o clase de la variable.
Variable Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Absoluta Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada
clase 1 n1 Fr1 =n1/N n1 Fr1
clase 2 n2 Fr2 =n2/N n1 + n2 Fr1 + Fr2
clase 3 n3 Fr3 =n3/N n1 + n2 + n3 Fr1 + Fr2 + Fr3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
clase n nn Frn =nn/N n1 + n2 + n3 +…+…+ nn Fr1 + Fr2 + Fr3 +…+…+ Frn
Total N N
Las cuatro columnas que conforman la tabla son: Frecuencia Absoluta, Frecuencia Relativa, Frecuencia Absoluta Acumulada y Frecuencia Relativa Acumulada.
Frecuencia Absoluta: Se puede entender como la cantidad de elementos que se presentan según la clase
Frecuencia Relativa: Se puede entender como la proporción de elementos que se presentan según la clase
Frecuencia Absoluta Acumulada: Se puede entender como la sumatoria de elementos que se presenta decrecientemente dado las clases de la variable
Frecuencia Relativa Acumulada: Se puede entender como la sumatoria de la proporción de elementos que se presenta decrecientemente dado las clases de la variable
Para determinar cada columna de la tabla de frecuencias se debe tener presente:
Frecuencia Absoluta: Se realiza un conteo de elementos por cada clase de la variable
Frecuencia Relativa: Se divide la cantidad de elementos por cada clase por el total de elementos
FR = a/N donde a = cantidad de elementos por categoría y N = total de elementos
Frecuencia Absoluta Acumulada: Se realiza sumatoria de elementos de manera decrecientemente dado las clases de la variable. Se debe tener presente que el valor inicial es el valor de la primera clase
Frecuencia Relativa Acumulada: Se realiza sumatoria de la proporción de elementos de manera decrecientemente dado las clases de la variable. Se debe tener presente que el valor inicial es el valor de la primera clase.
Variables categóricas
Se tiene la siguiente información para algunas variables categóricas
No Genero Estrato Estado civil Tipo de colegio
No Genero Estrato Estado civil Tipo de colegio
1 Masculino Estrato 5 Separado Privado 21 Femenino Estrato 2 Separado Privado
2 Masculino Estrato 1 Separado Privado 22 Masculino Estrato 2 Casado Privado
3 Masculino Estrato 6 Viudo Público 23 Femenino Estrato 6 Viudo Público
4 Masculino Estrato 1 Soltero Privado 24 Masculino Estrato 5 Separado Público
5 Masculino Estrato 1 Separado Público 25 Masculino Estrato 4 Soltero Privado
6 Femenino Estrato 1 Viudo Público 26 Femenino Estrato 1 Separado Público
7 Masculino Estrato 1 Soltero Público 27 Masculino Estrato 2 Soltero Privado
8 Femenino Estrato 6 Casado Público 28 Femenino Estrato 2 Soltero Público
9 Femenino Estrato 2 Separado Público 29 Femenino Estrato 3 Casado Privado
10 Femenino Estrato 6 Viudo Privado 30 Femenino Estrato 5 Viudo Privado
11 Masculino Estrato 4 Viudo Público 31 Femenino Estrato 2 Soltero Privado
12 Femenino Estrato 3 Soltero Privado 32 Masculino Estrato 6 Separado Privado
13 Femenino Estrato 5 Separado Público 33 Femenino Estrato 5 Casado Privado
14 Masculino Estrato 5 Casado Privado 34 Masculino Estrato 3 Soltero Privado
15 Femenino Estrato 2 Separado Privado 35 Femenino Estrato 5 Viudo Privado
16 Femenino Estrato 3 Viudo Privado 36 Masculino Estrato 2 Separado Privado
17 Masculino Estrato 6 Soltero Público 37 Masculino Estrato 2 Soltero Público
18 Masculino Estrato 5 Casado Público 38 Femenino Estrato 6 Viudo Privado
19 Masculino Estrato 1 Casado Público 39 Femenino Estrato 4 Viudo Privado
20 Masculino Estrato 1 Casado Privado 40 Masculino Estrato 3 Casado Público
En la matriz anterior se tiene información relacionada con las siguientes variables: Género, Estrato, Estado civil y Tipo de colegio. Cada variable tiene información de 40 personas. A partir de esta información se procede a construir las Tablas de frecuencia para cada variable.
Tabla de frecuencia variable género
Género Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
Masculino 21 0.525 21 0,525
Femenino 19 0.475 40 1
Total 40 1
Tabla de frecuencia variable Tipo de colegio
Tipo de Colegio Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
Privado 23 0,575 23 0,575
Público 17 0,425 40 1
Total 40 1
Tabla de frecuencia variable Estrato
Estrato Frecuencia Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
Estrato 1 8 0,2 8 0,2
Estrato 2 9 0,225 17 0,425
Estrato 3 5 0,125 22 0,55
Estrato 4 3 0,075 25 0,625
Estrato 5 8 0,2 33 0,825
Estrato 6 7 0,175 40 1
Total 40 1
Tabla de frecuencia variable Estado civil
Estado Civil Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
Soltero 12 0,30 12 0,30
Viudo 18 0,45 30 0,75
Casado 10 0,25 40 1
Total 40 1
Variables numéricas
Se tiene la siguiente información para las siguientes variables numéricas
No Edad Peso número de
gripas al mes Promedio académico No Edad Peso número de
gripas al mes Promedio académico
1 32 64,5 7 2,5 20 27 83,6 6 5
2 24 50 3 3 21 31 58 2 3,8
3 40 83,8 10 1,7 22 24 81,8 6 5
4 26 55,9 7 4,9 23 25 73 4 5
5 24 50,1 0 1 24 34 80,9 0 4,6
6 22 62 1 3,3 25 24 70 10 2,7
7 40 53,7 6 3 26 39 78,3 7 5
8 26 62 0 1,7 27 28 83 0 5
9 30 49,2 1 1 28 37 94,4 7 3,7
10 24 71 0 1,3 29 34 90,4 7 5
11 20 67,9 2 1,6 30 27 57,6 8 1,6
12 35 53 2 1,8 31 38 85 4 3,2
13 19 69,2 1 4 32 30 65,8 10 4,2
14 31 71,3 5 2,9 33 22 72,1 9 5
15 30 58,4 5 3,1 34 21 88,2 9 4,1
16 21 70,6 3 1,1 35 21 84 2 2
17 34 56 3 3 36 36 724, 8 4,1
18 21 75,7 8 2,8 37 33 75,1 4 1,1
19 35 85 6 4 38 29 61,7 2 1
En la matriz anterior se tiene información relacionada con las siguientes variables: edad, peso, cantidad de gripas reportadas en un mes y promedio académico. Cada variable tiene información de 38 personas. A partir de esta información se procede a construir las tabla de frecuencia para cada variable, sin embargo, para el caso de las variables numéricas se debe proceder utilizando una serie de fórmulas que van a permitir determinar el número de clases que se deben considerar para construir la tabla de frecuencias. Se procede de la siguiente manera.
Se ordena de menor a mayor cada variable para identificar los extremos: valor mínimo y valor máximo
Mediante la fórmula de Sturges, la cual es una regla práctica que permite determinar el número de clase que se deben considerar para elaborar la tabla de frecuencias, se determinan la cantidad aproximada de categorías o clase a utilizar.
k = 1+ [3,322*log (n)]
Dónde:
K: número de clases a utilizar (Formula de Sturges)
n: tamaño de la muestra
log: logaritmo base 10
Una vez identificado el valor mínimo (Min) , el valor máximo (Max) y la cantidad de clase (k), se procede a transformar la variable numérica en categórica utilizando la siguiente formula:
i = (Max-Min)/k
Dónde:
i: amplitud de clase
Max: Máximo valor que toma la variable
Min: Mínimo valor que toma la variable
K: número de clases a utilizar (Formula de Sturges)
Teniendo en cuenta los pasos anterior se procede a transformar cada una de las variables numéricas que se contemplan en la matriz de información.
Se ordena de menor a mayor cada variable para identificar los extremos: valor mínimo y valor máximo
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
Valor Mínimo 19 49,2 0 1
Valor Máximo 40 94,4 10 5
Fórmula de Sturges
Para este caso la el resultado de la fórmula de Sturges es el mismo para todas las variables dado que todas tienen el mismo tamaño de muestra.
k = 1+ [3,322*log (40)] = 6.32
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
K 6.32 6.32 6.32 6.32
Para cada variable se puede utilizar entre 5 y 7 intervalos, eso depende de la información de la variable
Transformar la variable numérica en categórica:
Se tiene la siguiente información para cada variable:
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
Valor Mínimo 19 49,2 0 1
Valor Máximo 40 94,4 10 5
K 6.32 6.32 6.32 6.32
Utilizando la siguiente formula (reemplazar los valores en la fórmula dada la información de cada variable):
i = (Max-Min)/k
Dónde:
i: amplitud de clase
Max: Máximo valor que toma la variable
Min: Mínimo valor que toma la variable
K: número de clases a utilizar (Formula de Sturges)
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
i = (40-19)/6,32= 3,32 i = (94,4-49,2)/6,32 = 7,15 i = (10-0)/6,32 = 1,58 i = (5-1)/6,32 = 0,63
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
i 3,3 7,1 1,6 0,6
i aproximación 3 7 2 0,6
Teniendo en cuenta los resultados de amplitud de clase para cada variable se procede a construir rangos. Estos rangos se construyen sumando la amplitud de intervalo (i)
Edad Peso Número de
gripas al mes promedio
académico
19 – 22
23 – 26
27 – 30
31 – 34
35 – 38
39 – 42 49,2 – 56,2
56,3 – 63,3
63,4 – 70,4
70,5 – 77,5
77,6 – 84,6
84,7 – 91,7
91,8 – 98,8 0 – 2
3 – 5
6 – 8
9 – 10
1 – 1,6
1,7 – 2,3
2,4 – 3
3,1 – 3,7
3,8 – 4,4
4,5 - 5
A partir de los rangos construidos se procede a construir la tabla de frecuencias para cada variable. Para este caso se procede de la misma manera que cuando se tienen variables categóricas.
Tabla de frecuencias variable edad
Edad Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
19 – 22 8 0,211 8 0,211
23 – 26 8 0,211 16 0,422
27 – 30 7 0,184 23 0,606
31 – 34 7 0,184 30 0,79
35 – 38 5 0,132 35 0,922
39 – 42 3 0,079 38 1
Total 38 1,00
Tabla de frecuencias variable peso
Peso Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
49,2 – 56,2 7 0,184 7 0,184
56,3 – 63,3 6 0,158 13 0,342
63,4 – 70,4 5 0,132 18 0,474
70,5 – 77,5 7 0,184 25 0,656
77,6 – 84,6 7 0,184 32 0,84
84,7 – 91,7 4 0,105 36 0,945
91,8 – 98,8 2 0,052 38 1
Total 38 1
Tabla de frecuencias variable número de gripas al mes
Número
de gripas al mes Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
0 – 2 13 0,342 13 0,342
3 – 5 8 0,211 21 0,553
6 – 8 12 0,316 33 0,869
9 – 10 5 0,132 38 1
Total 38 1
Tabla de frecuencias variable promedio académico
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Datos Agrupados y Datos No agrupados
Cuando se habla de datos agrupados o datos no agrupados se hace referencia a la estructura en que estos se presentan. Tanto los datos agrupados como lo datos no agrupados trabajan únicamente con variables numéricas: discretas o continuas. Para el caso de los datos no agrupados, estos se presentan según la variable de interés de la siguiente manera:
No Datos
1 12
2 17
3 16
4 9
5 17
6 15
7 6
8 15
9 7
10 2
11 16
12 3
13 14
14 9
15 7
16 4
17 5
18 6
19 7
20 8
Datos No Agrupados
Para el caso de los datos agrupados, estos se presentan según la variable de interés de la siguiente manera:
Consumo de café
al día Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
2 – 4 2 0,13 2 0,13
5 – 7 3 0,2 5 0,33
8 -10 2 0,13 7 0,46
11- 13 1 0,06 8 0,52
14 – 16 5 0,33 13 0,85
17 - 19 2 0,13 15 1
Total 15 1
Datos Agrupados
Medidas de tendencia central
Media aritmética (Promedio)
Datos no agrupados Datos agrupados
X = (∑▒x)/n
Dónde:
X:Promedio
X: dato
n: tamaño de la muestra
X= (∑▒〖f*x〗)/n
Dónde:
X:Promedio
f: Frecuencia absoluta de la clase
x: punto medio del rango de la clase
n: tamaño de la muestra
Para estimar la media aritmética o promedio según los datos no agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Suma de valores de la variables
No Número de televisores en casa
1 12
2 17
3 16
4 9
5 17
6 15
7 6
8 15
9 7
10 2
∑▒x = 116
n = 10
Reemplazar en la fórmula de la media aritmética para datos no agrupados
X = 116/10 = 11,6
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre la cantidad de televisores se tiene que la cantidad promedio de es de 11,6 televisores por casa.
Para estimar la media aritmética o promedio según los datos agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Calcular punto medio de la clase
Consumo de café
al día Punto Medio de
la clase Frecuencia
Absoluta
2 – 4 3 2
5 – 7 6 3
8 -10 9 2
11- 13 12 1
14 – 16 15 5
17 - 19 18 2
Total 15
Punto medio primera clase
Pm = (2+4)/2 = 3
Punto medio segunda clase
Pm = (5+7)/2 = 6
Punto medio tercera clase
Pm = (8+10)/2 = 9
Punto medio cuarta clase
Pm = (11+13)/2 = 12
Punto medio quinta clase
Pm = (14+)/2 = 15
Punto medio quinta clase
Pm = (5+7)/2 = 6
Sumatoria producto entre punto medio y frecuencia absoluta
Consumo de café
al día Punto Medio de
la clase Frecuencia
Absoluta Producto
2 – 4 3 2 6
5 – 7 6 3 18
8 -10 9 2 18
11- 13 12 1 12
14 – 16 15 5 75
17 - 19 18 2 36
Total 15 165
∑▒〖f*x〗 = 165
n = 15
Reemplazar en la fórmula de la media aritmética para datos agrupados
X= 165/15 = 11
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre el consumo de café al día se tiene que la cantidad promedio es de 11 tazas de café al día por cada persona.
Mediana
Datos No agrupados Datos agrupados
Datos impares
(posición) Datos pares
(posición)
Med = (n+1)/2
Med = (a+b)/2
A = n/2 B = n/2+1
Med = Linf + (c(0.50-H))/h
Dónde
Linf: Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana
C: Amplitud del intervalo de clase
H: Frecuencia relativa acumulada de la clase anterior de la que contiene a la mediana
h:Frecuencia relativa de la clase que contiene a la mediana
El resultado que se obtiene en Med es la posición en la que se encuentra el valor de la mediana Para resolver Med es necesario conocer los valores de A y B. Cuando se obtienen los resultados en A y B se obtiene la posición donde se encuentran los valores que se utilizan en Med, los cuales al resolver dicha operación se obtiene al valor de la mediana.
Para encontrar la mediana según los datos no agrupados impares de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
No Número de hijos
1 1
2 4
3 5
4 4
5 2
6 5
7 0
8 4
9 2
10 1
11 5
12 0
13 3
Reemplazar en la ecuación para identificar la posición en que se encuentra el valor de la mediana
Se tiene
n = 13
Med = (13+1)/2
Med = 14/2
Med = 7
Organizar los datos de menor a mayor
No No Número de hijos
1 7 0
2 12 0
3 1 1
4 10 1
5 5 2
6 9 2
7 13 3
8 2 4
9 4 4
10 8 4
11 3 5
12 6 5
13 11 5
Identificar la mediana
Dado que Med = 7, lo que indica que en la posición 7 cuando se ordenan los datos de menor a mayor se encuentra el valor de la mediana, por lo tanto, la Mediana e igual a 3
No No Número de hijos
1 7 0
2 12 0
3 1 1
4 10 1
5 5 2
6 9 2
7 13 3
8 2 4
9 4 4
10 8 4
11 3 5
12 6 5
13 11 5
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre la cantidad de hijos que tienen, se puede decir que el 50% de las personas tiene como máximo 3 hijos, y el otro 50% tiene más de 3 hijos.
Para encontrar la mediana según los datos no agrupados pares de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
No Coeficiente Intelectual
1 111
2 110
3 114
4 102
5 80
6 87
7 119
8 114
9 97
10 118
11 125
12 119
13 123
14 112
Identificar la posición de los valores dado A y B
Se tiene
n = 14
A = 14/2 B = 14/2+1
A = 7 B = 8
Organizar los datos de menor a mayor
No No Coeficiente Intelectual
1 5 80
2 6 87
3 9 97
4 4 102
5 2 110
6 1 111
7 14 112
8 3 114
9 8 114
10 10 118
11 7 119
12 12 119
13 13 123
14 11 125
Identificar los valores dado la posición de A y B
A = 7 (posición) B = 8 (posición)
No No Coeficiente Intelectual
1 5 80
2 6 87
3 9 97
4 4 102
5 2 110
6 1 111
7 14 112
8 3 114
9 8 114
10 10 118
11 7 119
12 12 119
13 13 123
14 11 125
Entonces los valores dado la posición son:
a = 112 b = 114
Reemplazar los valores en la ecuación
Med = (112+114)/2
Med = 226/2
Med = 113
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información sobre la puntuación del coeficiente intelectual, se puede decir que un 50% de las personas tiene puntuaciones por debajo de 113 puntos, y el otro 50% tiene puntuaciones por encima de esta puntuación.
Para encontrar la mediana según los datos agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
Tiempo de ejecución
en una prueba psicomotriz Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Absoluta Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada
49,2 – 56,2 7 0,184 7 0,184
56,3 – 63,3 6 0,158 13 0,342
63,4 – 70,4 5 0,132 18 0,474
70,5 – 77,5 8 0,211 26 0,685
77,6 – 84,6 7 0,184 33 0,869
84,7 – 91,7 4 0,105 37 0,974
91,8 – 98,8 1 0,026 38 1
Total 38 1
Identificar en la Frecuencia absoluta acumulada la clase o categoría que acumula como mínimo el 50% de información acumulada
Tiempo de ejecución
en una prueba psicomotriz Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Absoluta Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada
49,2 – 56,2 7 0,184 7 0,184
56,3 – 63,3 6 0,157 13 0,341
63,4 – 70,4 5 0,131 18 0,472
70,5 – 77,5 7 0,184 25 0,656
77,6 – 84,6 7 0,184 32 0,84
84,7 – 91,7 4 0,105 36 0,945
91,8 – 98,8 2 0,052 38 1
Total 38 1
Identificar valores a reemplazar en la formula
Linf = 70,5 C = 7 H = 0,472 h = 0,184
Reemplazar en la formula
Med = 70,5 + (7(0.50-0.472))/0.184
Med = 70,5 + 0.196/0.184
Med = 70,5 + 1
Med = 71,5
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre el tiempo de ejecución en una prueba psicomotriz, se puede decir que un 50% de las personas presenta tiempos de ejecución por debajo de 71,5 segundos, y el otro 50% presenta tiempos por encima de 71,5 puntos.
Moda
Datos no agrupados Datos agrupados
Md = Es el dato que tiene mayor ocurrencia
Md = Linf + c[d/(d+w)]
Dónde
Linf: Límite inferior de la clase que contiene más información en la frecuencia absoluta
C: Amplitud del intervalo de clase
d: fi - fj
w: fi – fk
fi : frecuencia absoluta de intervalo que contiene más información
fj : frecuencia absoluta del anterior intervalo del que contiene más información
fk : frecuencia absoluta del siguiente intervalo del que contiene más información
Para encontrar la moda según los datos no agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
No Número de ladrillos por casa
1 111
2 110
3 114
4 102
5 114
6 87
7 119
8 114
9 97
10 118
11 125
12 119
13 114
14 112
Organizar los datos de menor a mayor
No Número de ladrillos por casa
6 87
9 97
4 102
2 110
1 111
14 112
3 114
5 114
8 114
13 114
10 118
7 119
12 119
11 125
Identificar el datos que tiene mayor presencia
No Número de ladrillos por casa
6 87
9 97
4 102
2 110
1 111
14 112
3 114
5 114
8 114
13 114
10 118
7 119
12 119
11 125
Para esta variable el dato más se repite es 114, por lo tanto Mod = 114
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre la cantidad de ladrillos que tiene la casa en que habita, se puede decir existe una mayor probabilidad de tener una casa construida con 114 ladrillos.
Para encontrar la moda según los datos no agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
Número
de gripas al mes Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
0 – 2 13 0,342 13 0,342
3 – 5 8 0,211 21 0,553
6 – 8 12 0,316 33 0,869
9 – 10 5 0,132 38 1
Total 38 1
Identificar en la clase o categoría que contiene más información en la frecuencia absoluta
Número
de cervezas al mes Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
0 – 2 13 0,342 13 0,342
3 – 5 8 0,211 21 0,553
6 – 8 12 0,316 33 0,869
9 – 10 5 0,132 38 1
Total 38 1
Identificar valores a reemplazar en la formula
Linf = 0 C= 2 d = 13 – 0 = 13 w = 13 - 8 = 5
Reemplazar en la formula
Md = 0 + 2[13/(13+5)]
Md = 0 + 1,44
Md = 1,44
Interpretación
Para el grupo de personas que suministraron información con sobre la cantidad de cervezas que consume al mes, se puede decir existe una mayor probabilidad de tener una personas que consuma 1,44 cerveza al mes.
Medidas de Variabilidad
Rango
R = Vmax - Vmin
Dónde
R: Rango
Vmax: Valor máximo
Vmin: Valor mínimo
Para calcular el rango de una variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tienen los valores de una variable de interés
No Horas dedicadas
a estudiar al mes
1 25
2 43
3 33
4 27
5 49
6 26
7 22
8 46
9 17
10 38
Se ordenan los datos de menor a mayor
No Horas dedicadas
a estudiar al mes
9 17
7 22
1 25
6 26
4 27
3 33
10 38
2 43
8 46
5 49
Identificar valor mínimo y valor máximo
No Horas dedicadas
a estudiar al mes
9 17
7 22
1 25
6 26
4 27
3 33
10 38
2 43
8 46
5 49
Vmax = 49 Vmin = 17
Reemplazar en la formula
Vmax = 49 Vmin = 17
R = 49 - 17
R = 32
Varianza
Datos no agrupados Datos agrupados
S2 = (∑▒〖(x-X〗 )^2)/(n-1)
Fórmula 1
S2 = (n(∑▒f x^2 )- 〖(∑▒f x)〗^2)/(n(n-1))
Fórmula 2
S2 = (∑▒f x^2- nX^2)/(n-1)
Para encontrar la varianza según los datos no agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
No Tiempo en resolver un test
1 2,81
2 3,37
3 1,70
4 2,32
5 4,34
6 5,17
7 2,99
8 1,53
9 1,57
10 3,67
11 5,60
12 3,23
Estimar el promedio de los datos
∑▒x = 38,29
n = 12
X = 38,29/12 = 3,19
Sumatoria total de la Diferencia al cuadrado entre el promedio y cada dato de la variable
No Tiempo de resolver un test Promedio Diferencia Diferencia al cuadrado
1 2,81 3,19 -0,38 0,15
2 3,37 3,19 0,18 0,03
3 1,70 3,19 -1,49 2,22
4 2,32 3,19 -0,87 0,75
5 4,34 3,19 1,15 1,32
6 5,17 3,19 1,98 3,93
7 2,99 3,19 -0,20 0,04
8 1,53 3,19 -1,66 2,76
9 1,57 3,19 -1,62 2,64
10 3,67 3,19 0,48 0,23
11 5,60 3,19 2,41 5,83
12 3,23 3,19 0,04 0,00
Sumatoria total 19,90
∑▒〖(x-X〗 )^2 = 19,90
Reemplazar en la fórmula
∑▒〖(x-X〗 )^2 = 19,90 n = 12
S2 = 19,90/(12-1)
S2 = 19,90/11
S2 = 1,80
Para encontrar la varianza según los datos agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera dado la fórmula que se quiera implementar:
Procedimiento Fórmula No 1
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
Número de días
sin consumir el medicamento Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
2 – 4 2 0,13 2 0,13
5 – 7 3 0,2 5 0,33
8 -10 2 0,13 7 0,46
11- 13 1 0,06 8 0,52
14 – 16 5 0,33 13 0,85
17 - 19 2 0,13 15 1
Total 15 1
Determinar el punto medio del intervalo de clase
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Frecuencia
Absoluta
2 – 4 3 2
5 – 7 6 3
8 -10 9 2
11- 13 12 1
14 – 16 15 5
17 - 19 18 2
Total 15
Elevar al cuadrado el punto medio
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta
2 – 4 3 9 2
5 – 7 6 36 3
8 -10 9 81 2
11- 13 12 144 1
14 – 16 15 225 5
17 - 19 18 324 2
Total 15
Productos entre: frecuencia absoluta y punto medio / frecuencia absoluto y punto medio al cuadrado
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta Producto
FA - PM
Producto
FA - PMC
2 – 4 3 9 2 6 18
5 – 7 6 36 3 18 108
8 -10 9 81 2 18 162
11- 13 12 144 1 12 144
14 – 16 15 225 5 75 1125
17 - 19 18 324 2 36 648
Total 15 167 2205
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205
Reemplazar en las formulas
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205
Fórmula 1
S2 = (15(2205)- 〖(165)〗^2)/(15(15-1))
S2 = (33075 - 27225)/210
S2 = 5850/210
S2 = 27.85
Procedimiento Fórmula No 2
Para el caso de la fórmula 2, es necesario estimar el promedio
Se calcula el punto medio del intervalo de clase
Se hace el producto entre el punto medio y la frecuencia absoluta
Sumatoria del producto entre punto medio y frecuencia absoluta
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta Producto
FA - PM
Producto
FA - PMC
2 – 4 3 9 2 6 18
5 – 7 6 36 3 18 108
8 -10 9 81 2 18 162
11- 13 12 144 1 12 144
14 – 16 15 225 5 75 1125
17 - 19 18 324 2 36 648
Total 15 167 2205
∑▒〖f*x〗 = 165
n = 15
Reemplazar en la fórmula del promedio para datos agrupados
X = 165/15 = 11
Estimar la varianza a partir de la fórmula 2
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205 X = 11
Fórmula 2
S2 = (2205-(15*(〖11)〗^2))/(15-1)
S2 = (2205-(1815))/14
S2 = 390/14
S2 = 27.85
Desviación Estándar
Caso No 1
S = √(s^2 )
Caso No 2
Datos No agrupados Datos Agrupados
S = √((∑▒〖(x-X〗 )^2)/(n-1))
Fórmula 1
S =√( (n(∑▒f x^2 )- 〖(∑▒f x)〗^2)/(n(n-1)))
Fórmula 2
S = √((∑▒f x^2- nX^2)/(n-1))
Para el caso No 1, se estima la desviación estándar para las variables: Tiempo en resolver un test y número de días sin consumir el medicamento.
Procedimiento
Para estimar la desviación estándar se tiene cuenta la varianza para ambos casos
Tiempo en resolver un test
S2 = 1,80 Número de días sin consumir el medicamento
S2 = 27.85
La desviación estándar para ambos caso es:
Tiempo en resolver un test
S = √1,80
S = 1,34 Número de días sin consumir el medicamento
S = √27,85
S = 5,27
Para el caso No 2, se estima la desviación estándar para las variables: Tiempo en resolver un test y número de días sin consumir el medicamento
Para encontrar la varianza según los datos no agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
No Tiempo en resolver un test
1 2,81
2 3,37
3 1,70
4 2,32
5 4,34
6 5,17
7 2,99
8 1,53
9 1,57
10 3,67
11 5,60
12 3,23
Estimar el promedio de los datos
∑▒x = 38,29
n = 12
X = 38,29/12 = 3,19
Sumatoria total de la Diferencia al cuadrado entre el promedio y cada dato de la variable
No Tiempo de resolver un test Promedio Diferencia Diferencia al cuadrado
1 2,81 3,19 -0,38 0,15
2 3,37 3,19 0,18 0,03
3 1,70 3,19 -1,49 2,22
4 2,32 3,19 -0,87 0,75
5 4,34 3,19 1,15 1,32
6 5,17 3,19 1,98 3,93
7 2,99 3,19 -0,20 0,04
8 1,53 3,19 -1,66 2,76
9 1,57 3,19 -1,62 2,64
10 3,67 3,19 0,48 0,23
11 5,60 3,19 2,41 5,83
12 3,23 3,19 0,04 0,00
Sumatoria total 19,90
∑▒〖(x-X〗 )^2 = 19,90
Reemplazar en la fórmula
∑▒〖(x-X〗 )^2 = 19,90 n = 12
S =√(19,90/(12-1))
S =√(19,90/(12-1))
S = √1,80
S = 1,34
Para encontrar la varianza según los datos agrupados de cualquier variable numérica se procede de la siguiente manera dado la fórmula que se quiera implementar:
Procedimiento Fórmula No 1
Se tiene la siguiente información de una variable de interés:
Número de días
sin consumir el medicamento Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
2 – 4 2 0,13 2 0,13
5 – 7 3 0,2 5 0,33
8 -10 2 0,13 7 0,46
11- 13 1 0,06 8 0,52
14 – 16 5 0,33 13 0,85
17 - 19 2 0,13 15 1
Total 15 1
Determinar el punto medio del intervalo de clase
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Frecuencia
Absoluta
2 – 4 3 2
5 – 7 6 3
8 -10 9 2
11- 13 12 1
14 – 16 15 5
17 - 19 18 2
Total 15
Elevar al cuadrado el punto medio
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta
2 – 4 3 9 2
5 – 7 6 36 3
8 -10 9 81 2
11- 13 12 144 1
14 – 16 15 225 5
17 - 19 18 324 2
Total 15
Productos entre: frecuencia absoluta y punto medio / frecuencia absoluto y punto medio al cuadrado
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta Producto
FA - PM
Producto
FA - PMC
2 – 4 3 9 2 6 18
5 – 7 6 36 3 18 108
8 -10 9 81 2 18 162
11- 13 12 144 1 12 144
14 – 16 15 225 5 75 1125
17 - 19 18 324 2 36 648
Total 15 167 2205
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205
Reemplazar en las formulas
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205
Fórmula 1
S = √((15(2205)- 〖(165)〗^2)/(15(15-1)))
S = √((33075 - 27225)/210)
S = √(5850/210)
S = √27.85
S = 5,27
Procedimiento Fórmula No 2
Para el caso de la fórmula 2, es necesario estimar el promedio
Se calcula el punto medio del intervalo de clase
Se hace el producto entre el punto medio y la frecuencia absoluta
Sumatoria del producto entre punto medio y frecuencia absoluta
Número de días
sin consumir el medicamento Punto Medio Punto Medio
Al cuadrado Frecuencia
Absoluta Producto
FA - PM
Producto
FA - PMC
2 – 4 3 9 2 6 18
5 – 7 6 36 3 18 108
8 -10 9 81 2 18 162
11- 13 12 144 1 12 144
14 – 16 15 225 5 75 1125
17 - 19 18 324 2 36 648
Total 15 167 2205
∑▒〖f*x〗 = 165
n = 15
Reemplazar en la fórmula del promedio para datos agrupados
X = 165/15 = 11
Estimar la varianza a partir de la fórmula 2
n = 15 ∑▒f x= 165 ∑▒f x^2= 2205 X = 11
Fórmula 2
S = √((2205-(15*(〖11)〗^2))/(15-1))
S = √((2205-(1815))/14)
S = √(390/14)
S = √27.85
S = 5,27
Coeficiente de variación
CV = (S/X)* 100
Dónde
CV: Coeficiente de variación
S: Desviación estándar
X: Promedio
Se estima el coeficiente de variación para las variables: Tiempo en resolver un test y número de días sin consumir el medicamento.
Procedimiento
Se tiene para cada variable el promedio y la desviación estándar
Tiempo en resolver un test
S = 1,34
X = 3,19
Número de días sin consumir el medicamento
S = 5,27
X = 11
Reemplazar en la fórmula
El coeficiente de variación para el Tiempo en resolver un test
CV = (1,34/3,19)* 100
CV = (0,42) * 100
CV = 42
El coeficiente de variación para el número de días sin consumir el medicamento
CV = (5,27/11)* 100
CV = (0,479) * 100
CV = 47,9
Medidas de localización
Percentiles
Pk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Dónde
Pk: Valor del Percentil de interés
Linf : Límite inferior de intervalo de clase que contiene el valor del percentil
C: Amplitud de clase
k: Percentil de interés
n: Tamaño de muestra
F: Frecuencia Absoluta Acumulada del intervalo anterior al que contiene al percentil
f: Frecuencia Absoluta de la clase que contiene el valor de percentil
Se calculan algunos percentiles para la variable Promedio Académico a partir de la información suministrada en la tabla de frecuencias.
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Se calculan los siguientes percentiles: percentil 20, percentil 40 y percentil 70. Para calcular cualquier percentil se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Identificar la clase que acumula el porcentaje dado el percentil de interés en la columna de Frecuencias Relativa Acumulada
Caso No 1. Percentil 20
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 2. Percentil 40
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 3. Percentil 70
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Identificar los elementos a utilizar en la fórmula
Caso No 1. Percentil 20
Linf = 1
C = 0,6
K = 20
n = 38
F = 0
f = 8
Caso No 2. Percentil 40
Linf = 2,4
C = 0,6
K = 40
n = 38
F = 12
f = 7
Caso No 3. Percentil 70
Linf = 3,8
C = 0,6
K = 70
n = 38
F = 23
f = 6
Reemplazar los valores en la fórmula
Pk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Caso No 1. Percentil 20
Linf = 1 C = 0,6 K = 20 n = 38 F = 0 f = 8
Pk = 1 + (0,6((20*38)/100-0)/8)
Pk = 1 + (0,6(7,6)/8)
Pk = 1 + (4,56/8)
Pk = 1 + 0,57
Pk = 1,57
Caso No 2. Percentil 40
Linf = 2,4 C = 0,6 K = 40 n = 38 F = 12 f = 7
Pk = 2,4 + (0,6((40*37)/100-12)/7)
Pk = 2,4 + (0,6(76/5-12)/7)
Pk = 2,4 + (0,6(3,2)/7)
Pk = 2,4 + (1,92/7)
Pk = 2,4 + 0,27
Pk = 2,67
Caso No 3. Percentil 70
Linf = 3,8 C = 0,6 K = 70 n = 38 F = 23 f = 6
Pk = 3,8 + (0,6((70*38)/100-23)/6)
Pk = 3,8 + (0,6(133/5-23)/6)
Pk = 3,8 + (0,6(3,6)/6)
Pk = 3,8 + (2,16/6)
Pk = 3,8 + 0,36
Pk = 4,16
Deciles
Dk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Dónde
Dk: Valor del Decil de interés
Linf : Límite inferior de intervalo de clase que contiene el valor del Decil
C: Amplitud de clase
k: Decil de interés
n: Tamaño de muestra
F: Frecuencia Absoluta Acumulada del intervalo anterior al que contiene al Decil
f: Frecuencia Absoluta de la clase que contiene el valor de Decil
Se calculan algunos Deciles para la variable Promedio Académico a partir de la información suministrada en la tabla de frecuencias.
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Se calculan los siguientes Deciles: Decil 10, Decil 30 y Decil 60. Para calcular cualquier Decil se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Identificar la clase que acumula el porcentaje dado el Decil de interés en la columna de Frecuencias Relativa Acumulada
Caso No 1. Decil 10
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 2. Decil 30
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 3. Decil 60
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Identificar los elementos a utilizar en la fórmula
Caso No 1. Decil 10
Linf = 1
C = 0,6
K = 10
n = 38
F = 0
f = 8
Caso No 2. Decil 30
Linf = 1,7
C = 0,6
K = 30
n = 38
F = 8
f = 4
Caso No 3. Decil 60
Linf = 3,1
C = 0,6
K = 60
n = 38
F = 19
f = 4
Reemplazar los valores en la fórmula
Pk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Caso No 1. Decil 10
Linf = 1 C = 0,6 K = 10 n = 38 F = 0 f = 8
Pk = 1 + (0,6((10*38)/100-0)/8)
Pk = 1 + (0,6(3,8)/8)
Pk = 1 + (2,28/8)
Pk = 1 + 0,28
Pk = 1,28
Caso No 2. Decil 30
Linf = 1,7 C = 0,6 K = 30 n = 38 F = 8 f = 4
Pk = 1,7 + (0,6((30*38)/100-8)/4)
Pk = 1,7 + (0,6((30*38)/100-8)/4)
Pk = 1,7 + (0,6(57/5-8)/4)
Pk = 1,7 + (0,6(3,4)/4)
Pk = 1,7 + (2,04/4)
Pk = 1,7 + 0,51
Pk = 2,21
Caso No 3. Decil 60
Linf = 3,1 C = 0,6 K = 60 n = 38 F = 19 f = 4
Pk = 3,1 + (0,6((60*38)/100-19)/4)
Pk = 3,1 + (0,6(114/5-19)/4)
Pk = 3,1 + (0,6(3,8)/4)
Pk = 3,1 + (2,28/4)
Pk = 3,1 + 0,57
Pk = 3,67
Cuartiles
Qk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Dónde
Qk: Valor del Quartil de interés
Linf : Límite inferior de intervalo de clase que contiene el valor del Quartil
C: Amplitud de clase
k: Quartil de interés
n: Tamaño de muestra
F: Frecuencia Absoluta Acumulada del intervalo anterior al que contiene al Quartil
f: Frecuencia Absoluta de la clase que contiene el valor de Quartil
Se calculan los Cuartiles para la variable Promedio Académico a partir de la información suministrada en la tabla de frecuencias.
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Se calculan los Cuartiles: Cuartil 1, Cuartil 2 y Cuartil 3. Para calcular cualquier Cuartil se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Identificar la clase que acumula el porcentaje dado el Decil de interés en la columna de Frecuencias Relativa Acumulada
Caso No 1. Cuartil 1 (25% de información acumulada)
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 2. Cuartil 2 (50% de información acumulada)
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Caso No 3. Cuartil 3 (75% de información acumulada)
Promedio
académico Frecuencia
Absoluta Frecuencia
Relativa Frecuencia
Absoluta Acumulada Frecuencia
Relativa Acumulada
1 – 1,6 8 0,211 8 0,211
1,7 – 2,3 4 0,105 12 0,316
2,4 – 3 7 0,184 19 0,5
3,1 – 3,7 4 0,105 23 0,605
3,8 – 4,4 6 0,158 29 0,763
4,5 - 5 9 0,237 38 1
Total 38 1
Identificar los elementos a utilizar en la fórmula
Caso No 1. Cuartil 1 (25)
Linf = 1,7
C = 0,6
K = 25
n = 38
F = 8
f = 4
Caso No 2. Cuartil 2 (50)
Linf = 2,4
C = 0,6
K = 50
n = 38
F = 12
f = 7
Caso No 3. Cuartil 3 (75)
Linf = 3,8
C = 0,6
K = 75
n = 38
F = 23
f = 6
Reemplazar los valores en la fórmula
Pk = Linf + (c(kn/100-F)/f)
Caso No 1. Cuartil 1 (25)
Linf = 1,7 C = 0,6 K = 25 n = 38 F = 8 f = 4
Pk = 1,7 + (0,6((25*38)/100-8)/4)
Pk = 1,7 + (0,6(19/2-8)/4)
Pk = 1,7 + (0,6(1,5)/4)
Pk = 1,7 + (0,9/4)
Pk = 1,7 + 0,22
Pk = 1,92
Caso No 2. Cuartil 2 (50)
Linf = 2,4 C = 0,6 K = 50 n = 38 F = 12 f = 7
Pk = 2,4 + (0,6((50*38)/100-12)/7)
Pk = 2,4 + (0,6(19-12)/7)
Pk = 2,4 + (0,6(7)/7)
Pk = 2,4 + (4,2/7)
Pk = 2,4 + 0,6
Pk = 3
Caso No 3. Cuartil 3 (75)
Linf = 3,8 C = 0,6 K = 75 n = 38 F = 23 f = 6
Pk = 3,8 + (0,6((75*38)/100-23)/6)
Pk = 3,8 + (0,6(57/2-23)/6)
Pk = 3,8 + (0,6(5,5)/6)
Pk = 3,8 + (3,3/6)
Pk = 3,8 + 0,55
Pk = 4,35
Medidas de Forma
Coeficiente de asimetría de Pearson
Cx = (3(X- Med))/S
Dónde
CX: Coeficiente de asimetría de Pearson
X: Promedio
Med : Mediana
S: Desviación estándar
Asimetría negativa Simetría Perfecta Asimetría Positiva
X < Med
Sesgo Negativo
Cx < 0
X = Med
No sesgo
Cx = 0
X > Med
Sesgo Positivo
Cx > 0
Se calcula el coeficiente de asimetría para la variable Número de quejas a partir de la información suministrada en la siguiente tabla:
No Número de quejas
1 15
2 74
3 44
4 26
5 32
6 84
7 43
8 27
9 98
10 37
11 93
12 81
13 91
14 30
15 94
Para calcular el coeficiente de asimetría se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Estimar el promedio, la desviación estándar y mediana
Promedio 128,6 Desviación Estándar 44,7 Mediana 145
Reemplazar en la fórmula de Coeficiente de asimetría de Pearson
Cx = (3(X- Med))/S
Dónde
X = 128,6
Med = 44,7
S = 145
Cx = (3(128,6 - 145))/44,7
Cx = (3(-16,4))/44,7
Cx = (-49,2)/44,7
Cx = - 1,10
Coeficiente de Kurtosis
Kx = (p - d)/(2*(q-y))
Dónde
KX: Coeficiente de asimetría de Pearson
p: Percentil 75
d: Percentil 25
q: Percentil 90
y: Percentil 10
Platicurtica Mesocurtica Leptocurtica
No se ajusta a una distribución normal
kx < 0,263
Se ajusta a una distribución normal
kx = 0,263
No se ajusta a una distribución normal
kx > 0,263
Se calcula el coeficiente de Kurtosis para la variable Cantidad de papel reciclaje a partir de la información suministrada en la siguiente tabla:
No Cantidad de papel reciclable
1 135
2 100
3 161
4 164
5 181
6 99
7 30
8 63
9 145
10 110
11 90
12 161
13 155
14 156
15 179
Para calcular el coeficiente de Kurtosis se procede de la siguiente manera:
Procedimiento
Calcular percentiles: Percentil 10, 25, 75 y 90
Percentil 10 21,6
Percentil 25 30
Percentil 75 91
Percentil 90 95,6
Reemplazar en la fórmula de Coeficiente de Kurtosis
Kx = (p - d)/(2*(q-y))
p = 91 d = 30 q = 95,6 y = 21,6
Kx = (91 - 30)/(2*(95,6 -21,6))
Kx = 61/(2*(74))
Kx = 61/148
Kx = 61/148
Kx = 0,412
...