ESTADISTICA DESCRIPTIVA

INTRODUCCIÓN

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de

la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos.

El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal (1596 – 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades.

Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”. El mayor impulsor de esta rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones.

Resumiendo, El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

3.5 MÉTODOS DE CONTEO

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destaca el método del diagrama de árbol.

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos es igual se dirá que son agrupaciones con repetición.

Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos:

 Permutación

 Variación

 Combinación

Ejemplo 1

DADOS.

Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es: 6x6 = 36.

Ejemplo 2

POZOS EXPLORATORIOS.

Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es: 2x2x2x2 = 16.

Ejemplo 3

PLACAS.

Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer? Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10x10x10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa. La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26x26x26 = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: 999x17,576 = 17’558,424

3.6 MÉTODO POR ORDEN EN SU UBICACIÓN

Se llaman ordenaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, se difiere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos. Notación: r nO

Para calcular el número de ordenaciones de r objetos que se pueden formar con los n objetos disponibles, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes y la elección del primer objeto se puede hacer de (n – r + 1) maneras diferentes. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene:

Orn= n (n-1) (n-2) ... (n-r+2) (n-r+1)

Expresión que al multiplicar y dividir por (n – r)! conduce a:

Orn = n (n-1) (n-2) ... (n-r+2) (n-r+1) (n-r)!

(n-r)!

E invocando la fórmula fundamental de la factorial, tenemos:

Orn = n!

(n-r)! ____ (1.20)

Para la deducción de esta fórmula, se ha considerado implícitamente que el número r de objetos a elegir es menor o igual que el número de objetos disponibles: r ≤ n, lo que equivale a no permitir la repetición de objetos en una misma ordenación. El caso particular en el que r = n, conduce a la obtención de las ordenaciones de n objetos

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