Solución de la ecuación de crecimiento logístico
yacabalquiejInforme17 de Marzo de 2019
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Solución de la ecuación de crecimiento logístico
Separación de variables
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Integración por partes
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Ahora encontramos la constante C
Cunado P=0 tenemos que [pic 27]
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Sustituimos C en la ecuación [pic 38][pic 36][pic 37]
multiplicamos los términos [pic 39]
eliminamos los términos semejantes [pic 40]
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multiplicamos los términos [pic 42]
eliminamos los términos semejantes [pic 43]
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Solución de la Ec. Crecimiento Logístico. P(t) satisface la ecuación logística tanto si P
Que satisface la condición inicial P(0)=Po. Si K y M son constantes positivas entonces.
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Si la población inicial satisface P0 < M , entonces P(t) < M para todo t≥ 0 ; y límP(t) M, t = →∝ es decir una población que satisface la ecuación logística no crece sin límite, sino que se aproxima a la población límite M cuando t → + ∞ .
En este caso kP(M P) 0 dt dP = − > , la población está aumentando constantemente. Derivando con respecto a t obtenemos:
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(kM 2kP)[kP(M P)] dt dP dt dP dP d dt d P 2 2 ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = La gráfica de P(t) tiene un punto de inflexión cuando P = M/2. La población aumenta con el índice de crecimiento hasta que P = M/2 y después se hace asintótica a M como lo muestra la curva inferior de la figura 2.10. Del mismo modo siendo P0 > M , la función se vuelve constantemente decreciente como se observa en la parte superior de la misma gráfica.
La gráfica de P(t) tiene un punto de inflexión cuando P = M/2. La población aumenta con el índice de crecimiento hasta que P = M/2 y después se hace asintótica a M como lo muestra la curva inferior de la figura 2.10. Del mismo modo siendo P0 > M , la función se vuelve constantemente decreciente como se observa en la parte superior de la misma gráfica.
Durante el periodo de 1790 a 1930, la población de Estados Unidos P(t) (t en años) aumento de 3.9 millones a 123.2 millones. En este periodo, P(t) era cerca a la solución del problema con condiciones inicial.
, P (0) =3.9[pic 48]
¿Sigue modelando esta ecuación diferencial la población de Estados Unidos con precisión después de 1930? En tal caso, ¿Cuál es la población límite de los Estados Unidos?
Para su propia ecuación logística, elija enteros distintos de cero r y s.
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Sustituimos los valores que obtuvimos [pic 56]
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En la ecuación (1). Grafique la solución correspondiente en la ecuación (2) con varios valores diferente de la población inicial ¿Qué determina que la gráfica de p=P(t)? se vea como la curva superior o la curva interior de la figura 9.5.3?[pic 61]
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