Solución de la ecuación de crecimiento logístico
Enviado por yacabalquiej • 17 de Marzo de 2019 • Informes • 563 Palabras (3 Páginas) • 120 Visitas
Solución de la ecuación de crecimiento logístico
Separación de variables
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Integración por partes
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Ahora encontramos la constante C
Cunado P=0 tenemos que [pic 27]
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Sustituimos C en la ecuación [pic 38][pic 36][pic 37]
multiplicamos los términos [pic 39]
eliminamos los términos semejantes [pic 40]
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multiplicamos los términos [pic 42]
eliminamos los términos semejantes [pic 43]
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Solución de la Ec. Crecimiento Logístico. P(t) satisface la ecuación logística tanto si P
Que satisface la condición inicial P(0)=Po. Si K y M son constantes positivas entonces.
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Si la población inicial satisface P0 < M , entonces P(t) < M para todo t≥ 0 ; y límP(t) M, t = →∝ es decir una población que satisface la ecuación logística no crece sin límite, sino que se aproxima a la población límite M cuando t → + ∞ .
En este caso kP(M P) 0 dt dP = − > , la población está aumentando constantemente. Derivando con respecto a t obtenemos:
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(kM 2kP)[kP(M P)] dt dP dt dP dP d dt d P 2 2 ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = La gráfica de P(t) tiene un punto de inflexión cuando P = M/2. La población aumenta con el índice de crecimiento hasta que P = M/2 y después se hace asintótica a M como lo muestra la curva inferior de la figura 2.10. Del mismo modo siendo P0 > M , la función se vuelve constantemente decreciente como se observa en la parte superior de la misma gráfica.
La gráfica de P(t) tiene un punto de inflexión cuando P = M/2. La población aumenta con el índice de crecimiento hasta que P = M/2 y después se hace asintótica a M como lo muestra la curva inferior de la figura 2.10. Del mismo modo siendo P0 > M , la función se vuelve constantemente decreciente como se observa en la parte superior de la misma gráfica.
Durante el periodo de 1790 a 1930, la población de Estados Unidos P(t) (t en años) aumento de 3.9 millones a 123.2 millones. En este periodo, P(t) era cerca a la solución del problema con condiciones inicial.
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