ACTIVIDAD 4. PRÁCTICA 3. MODELO DE UN CIRCUITO RLC CON BATERIA

ACTIVIDAD 4. PRÁCTICA 3. MODELO DE UN CIRCUITO RLC CON BATERIA

INTRODUCCIÓN

Suponga que un inductor con inductancia "L" y un resistor de resistencia "R" están conectados en serie entre las terminales de un capacitor cargado, para formar un circuito en serie L-R-C. Como antes, el capacitor comienza a descargarse tan pronto como el circuito está completo. Pero en virtud de las pérdidas i^2R en el resistor, la energía del campo magnético adquirida por el inductor cuando el capacitor está descargado por completo es menor que la energía del campo eléctrico original del capacitor. De igual forma, la energía del capacitor cuando el campo magnético ha disminuido a cero es aún más pequeña, y así sucesivamente.

Si la resistencia R es relativamente pequeña, el circuito aún oscila, pero con un movimiento armónico amortiguado, y se dice que el circuito está suba amortiguado. Si R se incrementa, las oscilaciones cesan con más rapidez. Cuando R alcanza cierto valor, el circuito deja de oscilar; está críticamente amortiguado. Para valores aún mayores de R, el circuito está sobre amortiguado, y la carga del capacitor se acerca a cero aún más lentamente.

MODELO TEÓRICO

Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina en retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga. Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir, conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo.

Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos elementos que nos ayudarán en la resolución.

Resistencia

Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad "ρ".

R=(l•⍴)/s

Donde "l" es la longitud, "s" la sección.

v=I•R

Donde "V" representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.

P=V•I=V(V/R)=V^2/R

Esta ecuación representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita.

Bobina

Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión:

v=-N dɸ/dt=L dl/dt

Con "N" el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la auto inductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.

P=V•I=Ll dl/dt=d/dt(1/2 Ll^2)

Esta ecuación representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.

Condensador

Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por el auto inductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas:

C=Q/V

La ecuación se deriva.

v=(ʃ ldt)/C

Donde Q es la carga acumulada en las placas y "V" el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como:

P=V•I=V•C dv/dt=d/dt(1/2 CV^2)

Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ /dV y sabiendo que I=dQ/dt.

De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.

A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo V_b. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.

V_b-V_R-V_L-V_C=0 (8)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:

V_b=Rl+L dl/dt+1/C ʃldt (9)

Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.

0=L (d^2 I)/(dt^2 )+R dl/dt+1/C I (10)

El término dV_b/dt, ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo:

I(t)=k_1 e^(s_1 t)+k_2 e^(s_2 t) (11)

Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:

s^2+R/L

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