APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN

Ejercicio

En una industria dedicada a las confecciones textiles producen artículos específicos tanto para compañías establecidas como para marcas reconocidas, utilizando materia prima de calidad en la elaboración de blusas de vestir en tres tipos de fibras, de algodón, de poliéster y de seda, para satisfacer las necesidades que realmente le interesa a las clientes, cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las blusas se elaboran por lote.

♦ Para producir un lote de blusas de algodón se necesitan 30 minutos para cortarlas, 40

minutos para coserlas y 50 minutos para el planchado y empaquetado. ♦ Para las de poliéster 50 minutos para cortar, 50 minutos para coser, 50 minutos para

planchar y empaquetar. ♦ Para las de seda 65 minutos para cortar, 40 minutos para coser y 15 para planchar y

empaquetar.

¿Cuántos lotes de cada tipo de blusas se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solución:

➢ Se desea averiguar cuantos lotes de cada tipo de blusas se pueden elaborar,

Por lo cual asignemos una variable para cada tipo de fibras a las prendas de vestir.

x = Sea el número de lotes de blusas de vestir del tipo algodón, que se requiere producir.

y = Sea el número de lotes de blusas de vestir del tipo poliéster, que se requiere producir.

z = Sea el número de lotes de blusas de vestir del tipo seda, que se requiere producir.

➢ Recordar factores de conversión de unidades de tiempo.

8 horas (60 minutos

1 horas ) = 480 minutos.

➢ Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

El # de minutos que se emplean en cortar una blusa del tipo algodón es 30x, del tipo poliéster es 50y y del tipo seda es 65z.

El # total de minutos que se procesa en cortar todas las blusas es:

30x + 50y + 65z

Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se elaboran en cortar.

30x + 50y + 65z = 480

Análogamente para el proceso en coser se tiene:

40x + 50y + 40z = 480

Asimismo para el proceso de planchar y empaquetar tenemos:

50x + 50y + 15z = 480

Por lo tanto hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

30x + 50y + 65z = 480 40x + 50y + 40z = 480 50x + 50y + 15z = 480

Se procede a hacer las operaciones elementales:

30 50 65 A = [40 50 40

50 50 15480

x] B = [480 ] x⃗⃗ = [y480z]

A = Matriz de coeficientes B = Matriz de términos independientes x⃗ = Matriz de incógnitas

Así, el sistema se puede escribir matricialmente de la forma

Ax = B Apliquemos el método de eliminación Gauss-Jordán para hallar la solución del sistema.

1.- Matriz ampliada:

30 50 65 480 [40 50 40 480

] 50 50 15 4802.- Método de eliminación Gaussiana apoyada en las operaciones elementales por filas.

1 ⌈ │││⌊655030 155050 405040

480 3

3 1 53480 480 ⌉

│││⌋1 1065F F F

2

F

→

→→F 2 F ⌈ │││⌊121512 186060

9613106

F

3 FF 1 3 F 144 FFF + 576 → - + ⌉ │││⌋1

2→

- 2

1 2 10

1 1 ⌈ │││⌊106 1450 0000

-

13 - - 96 48 ⌉

│││⌋1

615F → F F

2 →- F 2 Luego Notese que la matriz resultante es la matriz escalonada

1 ⌈ │││⌊106 1450 0000

-

13 - - 2

1 2 96 48 ⌉

│││⌋1

61F 5F →

...