Ajuste De Curvas Por Minimos Cuadrados

A) Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que 2 magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal y=ax+b

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

El método mas efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medio para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x_1,y_1)… 〖(x〗_n,y_n) que representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin , los embargo los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados

El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a datos experimentales.

Fig 1. Ajuste de puntos en una recta [1]

Para encontrar el valor de las constantes a y b recurrimos a las siguientes ecuaciones:

a= (n(∑▒〖x_i y_i 〗)-(∑▒〖x_i 〗)(∑▒y_i ))/(n(∑▒〖x_i 〗^2 )-(∑▒〖x_i)〗^2 )

b= ((∑▒y_i )-a(∑▒x_i ))/n

Donde n es el número de medidas.

Los errores en las medidas, se traducrirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimos cuadrados asume que al fijar las condiciones experimentales, los valores y_i de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero se acepta como esencial en el método). Sin embargo las mediciones de la variable x irán afectadas de sus errores correspondientes, si є es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:

Δa=(√n є)/√(n∑_1^n▒〖x_i^2-(∑_1^n▒〖 x_i)²〗〗)

Δb=є/√n

La pendiente de la recta se escribirá a ± Δa, y la ordenada en el origen b± Δb.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es el número que se obtien mediante la fórmula:

[3]

Su valor puede variar entre 1 y -1 teniendo los siguientes casos:

Si r= -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e inversa.

Si r = 0, no existe ninguna relación entre las variables.

Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perdecta y directa.

Si empezamos con la recta y=Ax+B entonces la distancia vertical dk desde el punto (xk,yk) hasta el punto (xk,Axk+B) de la recta es dk=|Axk+B-yk|(véase figura 1). Debemos minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales dk:

E(A,B)=∑_(k=1)^N▒〖(Axk+B-yk)^2=∑_(k=1)^N▒〖dk^2.〗〗 (1)

Fig. 1 Distancias verticales entre los puntos (xk,yk) hasta la recta y=Ax+B

El valor mínimo de la función E(A,B) se determina igualando a cero las derivadas ∂E/∂A y ∂E/∂B y resolviendo las ecuaciones que resultan en A y B. Notese que{xk} e {yk} son constantes en la expresión (1) y que A y B son las variables Fijando B y derivando E(A,B) respecto de A, obtenemos

(2)

(∂E(A,B))/∂A=∑_(k=1)^N▒〖2(Axk+B-yk)(xk)=2∑_(k=1)^N▒〖2(Axk^2+Bxk-xkyk).〗〗

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