Minimo Cuadrado

Transformación Lineal:

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias.

Grafico. Dado un espacio vectorial V cuyos elementos V1, V2.. y dado un espacio vectorial W, son función de los elementos de V.

V W

V1……………….>W1 Sean V, W espacios vectoriales

V2……………….>W2 V1,V2,V3 y W1,W2,W3 (Vectores)

V3……………….>W3

Aplicación de la transformación lineal:

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Imagen y núcleo:

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un sub espacio del codominio.

Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a una base:

Si bien bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases a los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V  W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Ejemplos

Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen.

Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Isomorfismo:

El término 'isomorfismo' significa etimológicamente 'igual forma', y con ello se quiere destacar la idea según la cual existen semejanzas y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas en otras palabras Isomórfico (con una forma similar) se refiere a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original.

Ejemplo de Isomorfismo:

Por ejemplo, si X es un número real positivo con el producto e Y es un número real con la suma, el logaritmo ln: X→Y es un isomorfismo, porque ln(ab)=ln(a)+ln(b) y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene.

Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el corazón de la llamada geometría analítica.

Definición de Vector Propio y Valor Propio:

En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, auto espacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

* Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un es calar por lo tanto no varia su dirección.

* El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Polinomio Característico:

En álgebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.

Calculo

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