Minimos Cuadrados

MÍNIMOS CUADRADOS

Este método es una aproximación que nos permite representar un grupo de datos mediante uña sola función. Así que donde haya un conjunto de valores registrados, sin importar la cantidad de estos ni su tamaño, ahí estará el método de mínimos cuadrados para proporcionarle una tendencia. Las aplicaciones del método son ilimitadas señores, el límite esta en su imaginación: desde conocer la tendencia de su éxito con las mujeres, hasta modelar la producción y ventas de una gigantesca y exitosa empresa petrolera. Para la ingeniería, los negocios, la investigación y todas las ciencias en general, el método de los mínimos cuadrados, le garantiza su tendencia con el mínimo margen de error

Métodos de mínimos cuadrados.

El método de los mínimos cuadrados es un método estadístico que permite encontrar la recta que mejor ajusta a una serie de datos experimentales. El método se basa en minimizar las diferencias entre los datos experimentales y los que proporcionaría la recta que sustituye a los datos. Como es lógico, el método solo tiene utilidad si se aplica a series de datos que presentan una tendencia lineal, aunque se puede generalizar para ajustar datos a funciones arbitrarias

Dada una serie de datos la recta de mejor ajuste a esos datos está dada por y = mx =b, donde la pendiente es

y la ordenada en el origen es

En el caso frecuente en el que la recta deba pasar por el origen, su ecuación será y la pendiente es

La bondad del ajuste por mínimos cuadrados se puede estimar calculando el coeficiente de correlación

Un coeficiente de correlación próximo a la unidad indica un buen ajuste.

Debe tenerse en cuenta que los datos experimentales estarán afectados por sus incertidumbres y por tanto los valores de m y b tendrán también incertidumbre. Para determinarla de forma sencilla, se supone que los datos en x no tienen incertidumbre y que los datos en y tienen todos la misma uy. Entonces la incertidumbre en la pendiente está dada por

donde U es el valor mayor entre uy y oe.

La incertidumbre en la ordenada en el origen es:

donde U es el valor mayor entre uy y oe.

En el caso de una recta que pasa por el origen, la incertidumbre en la pendiente es

donde U es el valor mayor entre uy y oe.

EJEMPLO

El siguiente problema podremos ilustrar la aplicación de Regresión Múltiple

En la Facultad de Ingeniería de Sistemas y Computo de la Universidad "Inca Garcilaso de la Vega" se quiere entender los factores de aprendizaje de los alumnos que cursan la asignatura de PHP, para lo cual se escoge al azar una muestra de 5 alumnos y ellos registran notas promedios en las asignaturas de Algoritmos, Base de Datos y Programación como se muestran en el siguiente cuadro.

Cuadro 1

Ya observado los datos en el Cuadro 1 se procede a calcular las sumatorias de las variables y sus medias medias, media de X (variable independiente) y medias de las Yi (i=1,2,3…n Variable dependiente)

Cuadro 2 Una vez obtenidos los datos del Cuadro 2, se procede a resolver y obtener los valores de la ecuación de regresión:

Coeficientes de las pendientes: Ordenadas en el origen:

b1=(1173-(5)(14)(16.6))/(988-(5) 〖(14)〗^2 )=1,375 a1= 16.6 + 1,375(14) = 35.85

b2=(1031-(5)(14)(14.6))/(988-(5) 〖(14)〗^2 )=1,125 a2= 14.6 + 1,125(14) = 30.35

b3=(1019-(5)(14)(14.4))/(988-(5) 〖(14)〗^2 )=1,375 a3= 14.4 + 1,375(14) = 33.65

F1= 35.85 +

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